Cập nhật thông tin chi tiết về Các Dạng Bài Tập Về Tính Đơn Điệu (Đồng Biến, Nghịch Biến) Của Hàm Số mới nhất trên website Sansangdethanhcong.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
* Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).
* Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
* Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
* Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K
– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K
II. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số
° Xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể (không có tham số)
– Bước 1: Tìm Tập Xác Định, Tính f'(x)
– Bước 2: Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
– Bước 3: Sắp xếp các điểm đó đăng dần và lập bảng biến thiên
– Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
– Tập xác định : D = R
– Ta có: y’ = 3 – 2x
– Cho y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2.
– Tại x = 3/2 ⇒ y =25/4
– Ta có bảng biến thiên:
– Tập xác định: D = R
– Ta có: y’ = x 2 + 6x – 7
– Cho y’ = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -7
– Tại x = 1 ⇒ y = (-17)/3; Tại x = -7 ⇒ y = 239/3.
– Ta có bảng biến thiên:
– Tập xác định: D = R
– Ta có: y’= 4x 3 – 4x.
– Cho y’ = 0 ⇔ 4x 3 – 4x = 0 ⇔ 4x(x – 1)(x + 1) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1
– Tại x = 0 ⇒ y = 3; Tại x = 1 ⇒ y = 2; Tại x = -1 ⇒ y = 2
– Ta có bảng biến thiên:
– Tập xác định: D = R {1}
Vì y’ không xác định tại x = 1
– Ta có bảng biến thiên sau:
b) Học sinh tự làm
– Tập xác định: D = (-∞;-4]∪[5;+∞)
y’ không xác định tại x = -4 và x = 5
– Ta có bảng biến thiên sau
d) Học sinh tự làm
° Xét tính đơn điệu của hàm số có tham số m
+ Tính f'(x) =3ax 2 + 2bx + c, khi đó:
– Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'<0 hay (ad-bc)<0
Cho hàm số: f(x) = x 3 – 3mx + 3(2m – 1)x + 1. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
– TXĐ: D = R
– Tính f'(x) = 2x 2 – 6mx + 3(2m – 1)
Đặt g(x) = 2x 2 – 6mx + 3(2m – 1) có a = 2; b = -6m; c = 3(2m – 1);
– Để hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi:
– Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R.
– TXĐ: R{-m}.
– Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:
– Kết luận: Vậy với -2 < m < 1 thì hàm số nghịch biến trên tập xác định.
– Bước 1: Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).
– Bước 2: Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để f'(x) ≥ 0 hoặc f'(x) ≤ 0 trên khoảng (a;b) theo yêu cầu bài toán.
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].
– TXĐ: D = R
– Ta có: f'(x) = 3x 2 – 6x – 3(m + 1)
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).
– Để hàm số đồng biến trên [1;+∞) thì f'(x)≥0, ∀x ∈ [1;+∞).
⇒ 3x 2 – 6x – 3(m + 1) ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)
⇒ x 2 – 2x – m – 1 ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)
⇒ x 2 – 2x – 1 ≥ m, ∀x ∈ [1;+∞)
– Đặt y(x) = x 2 – 2x – 1 ⇒ y’ = 2x – 2
– Cho y’ = 0 ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:
– Kết luận: Vậy với m ≤ -2 thì hàm số (*) nghịch biến trên khoảng [1;+∞).
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].
– Để hàm số nghịch biến trên [-1;3] thì f'(x)≤0, ∀x ∈ [-1;3].
⇒ 3x 2 – 6x – 3(m + 1) ≤ 0,∀x ∈ [-1;3].
⇒ x 2 – 2x – m – 1 ≤ 0, ∀x ∈ [-1;3].
⇒ x 2 – 2x – 1 ≤ m, ∀x ∈∀x ∈ [-1;3].
– Đặt y(x) = x 2 – 2x – 1 ⇒ y'(x) = 2x – 2
– Cho y'(x) = 0 ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:
– Kết luận: Vậy với m ≥ 2 thì hàm số (*) nghịch biến trên khoảng [-1;3].
Phương Pháp Tìm Tính Đơn Điệu (Đồng Biến – Nghịch Biến ) Của Hàm Số
Posted 15/09/2014 by Trần Thanh Phong in hàm số y = f(x), Lớp 10, Đại Số 10. Tagged: bất phương trình, tính đơn điệu (đồng biến – nghịch biến ). 15 phản hồi
Phương pháp tìm tính đơn điệu (đồng biến – nghịch biến ) của hàm số
–o0o–
Định nghĩa :
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
khi giá trị của biến x
tăng
(giảm) trên D mà giá trị của hàm số tương ứng
tăng
(giảm). ta gọi Hàm số đồng biến trên D.
khi giá trị của biến x
tăng
(giảm) trên D mà giá trị của hàm số tương ứng
giảm
(tăng). ta gọi Hàm số nghịch biến trên D.
tóm tắt
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
Hàm số được gọi là đồng biến trên D nếu :
Hàm số được gọi là nghịch biến trên D nếu :
———————————-
Phương pháp :
Bước 1 : tìm xác định D.
Bước 3 : tính : f(x1) = …
f(x2) = …
Bước 4 : so sánh f(x1) và f(x2). bằng cách :
xét hiệu : f(x2) – f(x1) = … (hoặc f(x2) : f(x1) = …).
Nếu f(x1) < f(x2) : Hàm số được gọi là đồng biến trên D.
——————————–
bài tập 1 : chứng minh rằng : hàm số y = f(x) = x + 1 đồng biến trên R.
giải.
TXĐ : D = R
tính : f(x1) = x1 + 1
f(x2) = x2 + 1
xét : f(x2) – f(x1) = (x2 + 1) – (x1 + 1) = x2 –x1
Vậy : Hàm số đồng biến trên R.
bài tập 2 : chứng minh rằng : hàm số y = f(x) = -2x + 3 nghịch biến trên R.
giải.
TXĐ : D = R
tính : f(x1) = -2×1 + 3
f(x2) = -2×2 + 3
xét : f(x2) – f(x1) = (-2×2 + 3) – (-2×1 + 3) = -2(x2 –x1)
Vậy : Hàm số nghịch biến trên R.
bài tập 3 : chứng minh rằng : hàm số y = f(x) = x2 – 5 nghịch biến trên khoảng ( -∞ ; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).
giải.
TXĐ : D = R
tính : f(x1) = x12 – 5
f(x2) = x22 – 5
xét : f(x2) – f(x1) = (x22 – 5) – (x12 – 5) = x22 – x12 = (x2 – x1) (x2 + x1)
Nếu x1, x2 ∈ ( -∞ ; 0) thì x2 + x1 < 0
Vậy : Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -∞ ; 0).
Vậy : Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞).
Like this:
Số lượt thích
Đang tải…
Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số, Các Dạng Bài Tập Về Hàm Số Liên Tục
– Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x 0 ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x 0 nếu:
– Hàm số f(x 0) không liên tục tại điểm x 0 thì x 0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).
– Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
– Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoan [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và:
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
– Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x 0. Khi đó:
a) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x) và f(x).g(x) liên tục tại x 0.
– Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0.
II. Các dạng bài tập về hàm số liên tục
– Bước 4: Kết luận.
* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x 3 + 2x – 1 tại x 0=3.
– Ta có: f(x) = x 3 + 2x – 1
⇒ f(3) = 3 3 + 2.3 – 1 = 32
* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x 0 = 2, biết:
b) Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x 0 = 2.
– Ta có: g(2) = 5.
b) Để g(x) liên tục tại x 0 = 2 thì:
– Vậy chỉ cần thay 5 bằng 12 thì hàm số liên tục tại x 0 = 2.
– Ta có: f(1) = 1
– Ta có: f(0) = 0 2 – 2.0 + 2 = 2.
° Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.
– Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.
– Nếu hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.
Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng (-7;+∞).
– Hàm số y = x – 2 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)
– Hàm số y = x + 7 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)
* Khi x = 2 thì f(2) = 2 2 – 2 + 4 = 6.
– Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-7;+∞).
* Khi x < 3 thì f(x) = 1 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng (-∞;3)
* Khi 3 < x < 5 thì f(x) = ax + b là đa thwucs nên nó liên tục trên khoảng (3;5)
* Khi x = 3 thì f(3) = 3a + b
⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:
* Khi x = 5 thì f(5) = 5a + b
⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 5 thì:
– Vậy khi a = 1 và b = -2 thì hàm số f(x) liên tục trên R, khi đó:
x 2 + x – 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 và x ≠ -3.
⇒ TXĐ: D = R{-3;2}
– Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (-∞;-3), (-3;2) và (2;+∞).
* Hàm số g(x) = tanx + sinx xác định khi và chỉ khi:
x 0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu tại điểm x 0 hàm số không liên tục. Thông thường x 0 thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
1) f(x) không tồn tại
– TXĐ: R nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm x = 0 và x = 3.
* Tại x = 0.
– Ta có: f(0) = a và
⇒ x = 0 là điểm gián đoạn của hàm số.
* Tại x = 3.
– Ta có: f(3) = b và
1) Chứng mình phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
– Tìm hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0
– Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]
– Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x 0 ∈ (a;b).
2) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm
– Tìm k cặp số a i, b i sao cho các khoảng (a i; b i) rời nhau và:
– Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x i (a i; b i).
3) Khi phương trình f(x) = 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho:
– f(a), f(b) không còn chứa tham số hoặc còn chứa tham số nhưng dấu không đổi.
– Hoặc f(a), f(b) còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.
a) 2x 3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b) cosx = x có nghiệm
a) Đặt f(x) = 2x 3 – 6x + 1
– f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.
– Vậy ta có:
f(-2) = 2.(-2) 3 – 6(-2) + 1 = – 3 < 0
f(1) = 2.1 3 – 6.1 + 1 = -3 < 0.
⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0
⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b) Xét hàm số g(x) = x – cosx liên tục trên R.
– Do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:
g(-π) = -π – cos(-π) = -π + 1 < 0
⇒ g(-π). g(π) < 0
⇒ Phương trình x – cosx = 0 có nghiệm trong khoảng (-π; π)
⇒ Phương trình cosx = x có nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình (1 – m 2)x 5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
– Ta có: f(0) = -1; f(-1) = m 2 + 1
⇒ f(0).f(-1) = -1.(m 2 + 1) = -(m 2 + 1) < 0, ∀m ∈ R.
– Mặt khác: f(x) = (1 – m 2)x 5 – 3x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1;0]
⇒ Phương trình (1 – m 2)x 5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x 0 ∈ (-1;0)
⇒ Phương trình (1 – m 2)x 5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) thỏa mãn 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh phương trình có nghiệm trong [0;1/3].
* Đặt f(x) = ax 2 + bx + c ; (a ≠ 0) liên tục trên R
– Vậy phương trình ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) có nghiệm trong đoạn [0;1/3].
Phương Pháp Cô Lập M Trong Khảo Sát Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm y’
Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi y’ ≥ 0 ∀ x ∈ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y’ ≤ 0 ∀x ∈ K
Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g(x) hoặc m ≤ g(x)
Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g(x)
Bước 4: Kết luận
m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥
m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤
Một số hàm số thường gặp
⇒ f'(x) = 3ax 2 + 2bx + c
Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x 2
Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi x 1 ≤ α < β ≤ x 2
Với a <0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2
Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi x 1 ≤ α < β ≤ x 2
Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi β≤x 1 hoặc α ≥ x 2
Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y’= (ad – bc)/(cx + d) 2
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad – bc < 0 và -d/c ∉ K
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x 3/3 – mx 2+(1 – 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y’ = x 2 – 2mx + 1 – 2m
Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞)⇔ ∀ x ∈(1; +∞),y’ ≥ 0
⇔ ∀ x ∈ (1; +∞), x 2 -2mx + 1 – 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈(1; +∞), x 2 + 1 ≥ 2m(x + 1)
Xét hàm số f(x) = (x 2 + 1)/(x + 1), x ∈ (1; +∞)
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f(x),∀ x ∈(1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2
Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x – 1)/(x – m) nghịch biến trên khoảng (2; 3)
Hướng dẫn
TXĐ: D=R{m}.
Ta có y’= (-2m + 1)/(x – m) 2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3) thì hàm só phải xác định trên khoảng (2; 3) và y’ < 0 ∀ x ∈ (2; 3).
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là
Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx 3 – x 2 + 3x + m – 2 đồng biến trên (-3 ; 0)
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y’= 3mx 2 – 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi:
y’ ≥ 0,∀ x ∈(-3; 0) (Dấu ” = ” xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3; 0))
⇔ 3mx 2 – 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈(-3; 0)
⇔ m ≥(2x-3)/(3x 2 ) = g(x) ∀ x ∈(-3;0)
Ta có: g'(x) = (-2x + 6)/(3x 3 ); g'(x) = 0 ⇔ x = 3
Bảng biến thiên
Vậy m ≥ = -1/3.
B. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx 2 – (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)
Hiển thị đáp án
Ta có:
⇒ 2mx – (m + 6) ≤ 0 ⇔ m ≤ .
Xét hàm số g(x) = với x ∈ (-1;+∞).
Bảng biến thiên
Câu 2: Cho hàm số y = x 3-3mx 2+3(m 2 – 1)x – 2m + 3. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Hiển thị đáp án
Tập xác định: D = R
Đạo hàm y’=3x 2-6mx+3(m 2-1)
Do đó y’ ≤ 0 ∀ x ∈(1;2) ⇔ x 1 ≤ 1 < 2 < x 2 ⇔
Hiển thị đáp án
Bảng biến thiên
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Hiển thị đáp án
TXĐ: D = R{m}
Ta có: y’= .
Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)
Câu 5: Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (4; +∞)
Hiển thị đáp án
Trường hợp 1: Khi m = -1, hàm số trở thành với mọi x
Trường hợp 2: Khi m ≠ -1, ta có
⇔ ∀ x ∈(4; +∞), g(x) ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈ (4; +∞), ≤ m.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên của h(x) suy ra,∀ x ∈(4; +∞),h(x) ≤ m m ≥-1.
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (π/4; π/2).
Hiển thị đáp án
Ta có: .
Câu 7: Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞).
Hiển thị đáp án
Ta có:
có tập xác định là D = R{-m} và .
Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞) ⇔
x 2 + 2mx – 4m ≥ 0,∀ x ∈[1; +∞)⇔
Câu 8: Với giá trị nào của m thì hàm số y=√(x 2+2mx+m 2+1) đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Hiển thị đáp án
Ta có
Bảng biến thiên
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi
tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp
Bạn đang xem bài viết Các Dạng Bài Tập Về Tính Đơn Điệu (Đồng Biến, Nghịch Biến) Của Hàm Số trên website Sansangdethanhcong.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!