Cập nhật thông tin chi tiết về Công Thức Tính Nhanh Tỉ Số Thể Tích Khối Đa Diện mới nhất trên website Sansangdethanhcong.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
I. BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC
Đây là bài tập 4 trang 25 trong sách giáo khoa Hình học 12 (Cơ bản).
Bài toán: (Công thức 1) Cho hình chóp chúng tôi Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng
Chứng minh:
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và A’ lên mặt phẳng (SBC).
Vì AH và A’K song song nên các điểm S, H, K, A, A’ đồng phẳng và ba điểm H, K, S cùng nằm trên đường giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ASH). Vậy H, K, S thẳng hàng.
Ta có:
II. CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH
1. CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Ngoài công thức ở mục I đã được chứng minh. Chúng ta có các công thức sau:
Công thức 2
:
Cho khối chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các đoạn SA, SB, SC, SD lấy lần lượt các điểm A’, B’, C’, D’ khác S sao cho a+c=b+d. Trong đó:
Khi đó ta có tỉ số thể tích là
Ví dụ 1:
Cho khối chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 77. Mặt phẳng (α) đi qua A cắt cạnh SC tại trung điểm N, cắt cạnh SB tại điểm M sao cho SM/SB=6/7 và cắt cạnh SD tại điểm P. Tính thể tích khối chóp S.AMNP.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính nhanh với a=1, b=7/6, c=2 và d=a+c-b=1+2-7/6=11/6 ta có:
Công thức 3: Hai khối chóp chung chiều cao
Công thức này rất đơn giản và hiển nhiên nhưng ta lại hay thường gặp trong giải toán. Cụ thể, nếu hai khối chóp (H) và (H’) có diện tích hai đáy lần lượt là S và S’. Đồng thời có cùng chiều cao h. Thì ta có:
Ví dụ 2:
Cho khối chóp chúng tôi Điểm M thuộc đoạn AB sao cho AB=4AM. Điểm N thuộc đoạn AC sao cho AC=3AN. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích các khối chóp chúng tôi và chúng tôi Biết V’=kV. Tìm k.
Lời giải:
Hai khối chóp chúng tôi và chúng tôi chung đỉnh và chung mặt đáy nên chung chiều cao.
Do đó:
Công thức 4: Hai khối đa diện đồng dạng tỉ số k.
Hai khối đa diện (H) và (H’) được gọi là đồng dạng tỉ số k nếu có 1 phép đồng dạng F tỉ số k biến (H) thành (H’). Khi đó giả sử AB là 1 cạnh của (H) và F(AB)=A’B’ thì A’B’=kAB. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của (H) và (H’), khi đó ta có tỉ số thể tích sau:
Ví dụ 3:
Cho khối chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Gọi V là thể tích khối chóp S.MNPQ. Tính V biết thể tích khối chóp chúng tôi bằng 12.
Lời giải:
Dễ thấy phép vị tự tâm S tỉ số 2 biến khối chóp chúng tôi thành khối chóp S.ABCD.
Do đó:
2. CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Công thức 5: Khối lăng trụ tam giác
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ lấy lần lượt các điểm M, N, P. Khi đó ta có tỉ số sau:
Công thức 6: Khối lăng trụ đáy là hình bình hành (khối hộp)
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho M, N. P, Q đồng phẳng. Khi đó ta có tỉ số sau:
Bát diện đều: Công thức tính thể tích và bài tập
Công Thức Hình Học 12 Thể Tích Khối Đa Diện Dễ Nhớ
Trong chương trình toán thi THPT Quốc Gia, khối đa diện chiếm một lượng kiến thức khá lớn, vì vậy hôm nay Kiến Guru xin chia sẻ đến các bạn đọc bộ công thức hình học 12 về khối đa diện.
Kiến hy vọng thông qua bài viết này, các bạn sẽ có một tư liệu ôn tập tóm gọn, chính xác và đầy tính ứng dụng. Bài viết vừa nhắc lại một số định nghĩa cơ bản, đồng thời cũng tổng hợp một vài công thức tính nhanh toán 12 về tính thể tích. Mời bạn đọc cùng tham khảo qua:
I. Một số khái niệm về công thức hình học 12 khối đa diện cần nhớ.
1. Khái niệm.
Hình đa diện: là hình được tạo ra bởi một số hữu hạn thỏa mãn hai tính chất:
+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng 2 đa giác.
Khối đa diện: là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Khối đa diện nếu được giới hạn bởi hình lăng trụ sẽ gọi là khối lăng trụ. Tương tự, nếu được giới hạn bởi hình chóp thì gọi là khối chóp,…
Trong tính toán ta thường đề cập đến khối đa diện lồi: tức là một khối đa diện (H) thỏa mãn nếu nối 2 điểm bất kì của (H) ta đều thu được một đoạn thẳng thuộc (H).
Cho một đa diện lồi, ta có công thức Euler về liên hệ giữa số đỉnh D, số cạnh C và số mặt M: D-C+M=2.
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:
+ Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
+ Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Một số khối đa diện lồi thường gặp:
Ví dụ về khối đa diện:
Ví dụ về khối hình không phải đa diện:
2. Phân chia, lắp ghép khối đa diện.
Những điểm không thuộc khối đa diện gọi là điểm ngoài, tập hợp các điểm ngoài gọi là miền ngoài. Điểm thuộc khối đa diện nhưng không nằm trên hình đa diện bao ngoài được gọi là điểm trong khối đa diện, tương tự, tập hợp các điểm trong tạo nên miền trong khối đa diện.
Cho khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1) và (H2) thỏa mãn, (H1) và (H2) không có điểm chung trong nào thì ta nói (H) có thể phần chia được thành 2 khối (H1) và (H2), đồng thời cũng có thể nói ghép hai khối (H1) và (H2) để thu được khối (H).
Ví dụ: Cắt lăng trụ ABC.A’B’C’ bởi mặt phẳng (A’BC) ta thu được hai khối đa diện mới A’ABC và A’BCC’B’.
3. Một số kết quả quan trọng.
KQ1: cho một khối tứ diện đều:
+ Trọng tâm của các mặt là đỉnh của một khối tứ diện đều khác.
+ Trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).
KQ2: Cho khối lập phương, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành 1 khối bát diện đều.
KQ3: Cho khối bát diện đều, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành một khối lập phương.
KQ4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:
+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+ Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau.
+ Ba đường chéo bằng nhau.
KQ5: một khối đa diện phải có tối thiểu 4 mặt.
KQ6: HÌnh đa diện có tối thiểu 6 cạnh.
KQ7: Không tồn tại đa diện có 7 cạnh.
II. Tổng hợp công thức hình học 12 thể tích khối đa diện.
1. Thể tích khối chóp:
2. Thể tích khối lăng trụ:
3. Thể tích khối hộp chữ nhật:
Chú ý: Hình lập phương là một hình hộp chữ nhật có các cạnh bằng nhau.
4. Công thức tỉ số thể tích
Chú ý đặc biệt: công thức về tỷ số thể tích chỉ được dùng cho khối chóp tam giác. Nếu gặp khối chóp tứ giác, ta cần chia nhỏ thành 2 khối chóp tam giác để áp dụng công thức này.
5. Công thức tính nhanh toán 12 một số đường đặc biệt:
Đường chéo của hình lập phương cạnh a có độ dài: SS
Cho hình hộp có độ dài 3 cạnh là a, b, c thì độ dài đường chéo là:
Đường cao của tam giác đều cạnh a là:
Ngoài ra, để tính thể tích khối đa diện, cần nhớ một số công thức toán hình phẳng sau:
Cho tam giác vuông ABC tại A, xét đường cao AH. Khi đó:
Công thức tính diện tích tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c; a đường cao tương ứng là ha, hb, hc; bán kính đường trònngoại tiếp là R; bán kính đường tròn nội tiếp là r; nửa chu vi tam giác là
Chuyên Đề: Một Số Phương Pháp Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử
Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, song đó lại là một trong những dạng toán khó đối với học sinh bậc THCS.
Nội dung này được giới thiệu khá đầy đủ trong chương trình Đại Số 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chương trình. Bởi nó được vận dụng rất nhiều ở các phần sau như: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức của các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, biến đổi các biểu thức vô tỉ, giải phương trình bậc cao .
Thực tế giảng dạy cho thấy, mặc dù các phương pháp được giơí thiệu trong SGK rất roừ ràng, cụ thể. Song việc các em vận dụng còn nhiều lúng túng. Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì nội dung kiến thức chưa đáp ứng được nhu cầu học toán của các em.
A / Lời nói đầu Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, song đó lại là một trong những dạng toán khó đối với học sinh bậc THCS. Nội dung này được giới thiệu khá đầy đủ trong chương trình Đại Số 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chương trình. Bởi nó được vận dụng rất nhiều ở các phần sau như: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức của các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, biến đổi các biểu thức vô tỉ, giải phương trình bậc cao ... Thực tế giảng dạy cho thấy, mặc dù các phương pháp được giơí thiệu trong SGK rất roừ ràng, cụ thể. Song việc các em vận dụng còn nhiều lúng túng. Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì nội dung kiến thức chưa đáp ứng được nhu cầu học toán của các em. Vậy Dạy - Học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử như thế nào để đạt kết quả tốt nhất? Phù hợp cho học sinh đại trà? Đồng thời đáp ứng được nhu cầu học tập của học sinh khá giỏi. Để đạt kết quả đó, ngoài phương pháp truyền thụ người thầy phải nắm bắt được kiến thức một cách nhuần nhuyễn. Đó chính là lý do tôi đưa ra đề tài này. Cụ thể trong đề tài này, với mỗi phương pháp cơ bản hay đặc biệt. Tôi làm rõ: Phương pháp giải. Bài tập tự luyện Với nội dung và trình bày trong đề tài này, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu hướng dẫn đối với học sinh mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho công tác giảng dạy của giáo viên các trường THCS. B. Nội dung Phần 1: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Các phương pháp cơ bản I/ Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp . Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử. Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử. Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử -3xy + xy - 5xy 2x(y - z) + 5y(z - y) 10x(x + y) - 5(2x + 2y)y Bài làm a) 3xy + xy - 5xy = xy(- 3 + xy - 5x) b) 2x(y - x) + 5y(z - y) = 2x(y - z) - 5y(y - z) = (y - z)(2x - 5y) c) 10x(x + y) - 5(2x + 2y)y = 10x(x + y) - 10y(x + y) = 10(x + y)(x - y) = 10(x + y)(x + y)(x - y) = 10(x + y) (x - y) Bài tập tự luyện Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 12xy - 12xy + 3x 15x - 30 y + 20z x(y - 2007) - 3y(2007 - y) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1) Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3 2x(x - y) + 2x(y - x ) + 2x(z - x) (Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008) II) Phương pháp dùng hằng đẳng thức Phương pháp Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản. Những hằng đẳng thức : (A + B) = A + 2AB + B (A - B) = A - 2AB + B A - B = (A + B)(A - B) (A + B) = A + 3AB + 3AB + B (A - B) = A - 3AB + 3AB - B A + B = (A + B)(A - AB + B) A - B = (A - B)(A + AB + B) (A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2CA A - B = (A - B)(A + AB + + AB + B) A - B = (A +B)(A - AB + - B) A + B = (A + B)(A - AB + AB- +B) (A + B) = A + n AB - AB + + AB + nAB+ B (A - B) = A - n AB +AB - +(-1)B Ví dụ Phân tích đa thức tành nhân tử x + 6xy + 9y a - b (x - 3) - (2 - 3x) x - 3x + 3x - 1 Bài Làm x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y) a - b = (a) - (b) = (a + b) (a - b) = (a + b) (a + b) (a - b) (x - 3) - (2 - 3x) = [(x - 3) + (2 - 3x)][(x - 3) - (2 - 3x)]= (- 2x - 1)(- 5 + 4x) x - 3x + 3x - 1 = (x - 1) 2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử a + b + c - 3abc (a + b + c) - a - b - c Bài Làm a) a + b + c - 3abc = (a + b) - 3ab(a + b) + c - 3abc = ( a + b + c)[(a + b) - (a + b)c + c] - 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a + b + c - ab - bc - ca) b) (a + b + c) - a - b - c = (a + b) + c + 3c(a + b)(a + b + c) - a - b -c = 3(a + b)(ab + bc + ac + c) = 3(a + b)(b + c) (c + a) Bài tập tự luyện Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử (x - 15) - 16 25 - (3 - x) (7x - 4) - ( 2x + 1) 9(x + 1) - 1 9(x + 5) - (x - 7) 49(y- 4) - 9(y + 2) Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử 8x + 27y (x + 1) + (x - 2) 1 - y + 6xy - 12xy + 8x 2004 - 16 III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Phương pháp Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm. Áp dụng phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán. 2. Ví dụ 2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử x - 3xy + x - 3y 7x - 7xy - 4x + 4y x + 6x - y + 9 x + y - z - 9t - 2xy + 6zt Bài Làm a) x - 3xy + x - 3y = (x - 3xy) + (x - 3y) = x(x - 3y) + (x - 3y)= (x - 3y) (x + 1) b) 7x - 7xy - 4x + 4y = (7x - 7xy) - (4x - 4y) = 7x(x - y) - 4(x - y)=(x - y) (7x - 4) c)x + 6x - y + 9 = (x + 6x + 9) - y = (x + 3) - y= (x + 3 + y)(x + 3 - y) d)x + y - z - 9t - 2xy + 6zt = (x - 2xy + y) - (z - 6zt + 9t) = (x - y) - (z - 3t) = (x - y + z - 3t)(x - y - z + 3t 2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử xy + xy + xz + xz + yz + yz + 2xyz xy + xy + xz + xz + yz + yz + 3xyz Bài Làm a) xy + xy + xz + xz + yz + yz + 2xyz = (xz + yz + 2xyz) + xy + xy + xz2 + yz = z(x + y) + xy(x + y) + z (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z) = (x + y) [(xz + xy) + (yz + z)] = (x + y) [x(z + y) + z(z + y)] = (x + y)(y + z)(x + z) b) xy + xy + xz + xz + yz + yz + 3xyz = (xy + xz + xyz) + ( xy + yz + xyz) + (xz + yz + xyz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) = (xy + yz + xz)( x + y + z) 3. Bài Tập Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử x + 3x - 9x - 27 x + 3x - 9x - 9 x - 3x + 3x - 1 - 8y BàI 6: Phân tích đa thức thành nhân tử. x(y2 - z2) + y(z2 - y2) + z(x2 - y2) xy(x - y) - xz( x + z) - yz (2x + y - z ) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 - 4xyz yz(y +z) + xz(z - x) - xy(x + y) IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp 1. Phương pháp Vận dụng linh hoạt các phương pháp cơ bản đã biết và thường tiến hành theo trình tự sau : - Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử 2. Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 5x - 45x 3xy - 6x2y - 3xy - 6axy2 - 3a2xy + 3xy Bài làm a) 5x - 45x = 5x(x2 - 9) = 5x(x +3) (x - 3) b) 3x2y - 6x2y - 3xy - 6axy2 - 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 - 2y - y2 - 2ay - a2 + 1) = 3xy [( x2 - 2x + 1) - (y2 + 2ay + a2)] = 3xy [(x - 1) 2 - (y + a) 2] = 3xy [(x - 1) + (y + a)] [(x - 1) - (y + a)] = 3xy(x + y + a - 1) (x - y - a - 1) 3. Bài tập Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2 - 4b2c + 2bc2 - 4abc 8x(x + z) - y(z + 2x) - z(2x - y) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 - 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2 Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z) - x - y - z Hướng dẫn (x + y + z ) - x - y - z =[(x + y + z) - x] - (y + z) = (x + y + z - x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] - (y + z)(y2 - yz + z2) = (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 - y2 + yz - z2] = (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz) = 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] = 3( x + y)(y + z)(x + z) V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử 1. Phương pháp Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung 2. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 - 6x + 8 Bài làm Cách 1: x2 - 6x + 8 = (x2 - 2x) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x -2)(x - 4) Cách 2: x2 - 6x + 8 = (x2 - 6x + 9) - 1 = (x - 3) 2 - 1 = (x -3 + 1)(x - 3 - 1) = (x - 2)(x - 4) Cách 3: x2 - 6x + 8 = (x2 - 4) - 6x + 12 = (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x + 2 - 6) = (x - 2)(x - 4) Cách 4: x2 - 6x + 8 = (x2 - 16) - 6x + 24 = (x -4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x + 4 -6) = (x -4)(x - 2) Cách 5: x2 - 6x + 8 = (x2 - 4x + 4) - 2x + 4 = ( x - 2) 2 - 2(x - 2)= (x - 2)(x - 2 - 2) = (x - 2)(x - 4) 3. Bài tập Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử. x2 + 7x +10 x2 - 6x + 5 3x2 - 7x - 6 10x2 - 29x + 10 Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử. x + 4x2 - 29x + 24 x + 6x2 + 11x + 6 x2 - 7xy + 10y 4x2 - 3x - 1 VI/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. Phương pháp Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích được thành nhân tử chung bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, ... Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử. x + 64 = x + 64 + 16x - 16x= (x + 8) - (4x) = (x2 + 4x + 8)(x - 4x + 8) Phân tích đa thức thành nhân tử. x + 4y x + x + 1 Bài làm a) x + 4y= x + 4y + 4xy - 4xy= (x + 2y)2 - (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) b) x + x + 1 = (x + x + x) - (x + x + x) + (x + x + 1) = x(x + x + 1) - x(x + x + 1) + (x + x +1) = (x + x + 1)(x - x +1) Bài tập Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử. x + x + 1 x + x + 1 x + x + 1 x + 4 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử. x + 5x + 3x - 9 x + 9x + 11x - 21 x - 7x + 6 Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử. x - 5x + 8x - 4 x - 3x + 2 x - 5x + 3x + 9 x + 8x + 17x + 10 x + 3x + 6x + 4 Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử. x - 2x - 4 2x - 12x + 7x - 2 x + x + 4 x + 3x + 3x + 2 x + 9x + 26x + 24 2x - 3x + 3x + 1 3x - 14x + 4x + 3 * MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC VII/ Phương pháp đặt biên số (đặt biên phụ) Phương pháp Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử. 6x - 11x + 3 (x + 3x + 1)(x + 3x - 3) -5 (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Bài Làm 6x - 11x + 3 - Đặt x2 = y - Đa thức đã cho trở thành: 6y - 11y + 3 = (3y - 1)(2y - 3) - Trả lại biến cũ: 6x - 11x + 3 = (3x - 1) (2x - 3) = ( x - 1)( x + 1)( x - )( x + ) (x + 3x + 1)(x + 3x - 3) -5 - Đặt x + 3x + 1 = y Þ x - 3x - 3 = y - 4 - Đa thức đã cho trở thành y(y - 4) - 5 = y - 4y - 5 = (y + 1)(y + 5) - Trả lại biến cũ. (x + 3x + 1)(x + 3x - 3) - 5 = (x + 3x + 1 + 1)(x + 3x + 1 - 5) = (x + 3x + 2)(x + 3x - 4)= (x + 1)(x + 2)(x - 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 - Đặt x + 8x + 7 = y Þ x + 8x + 15 = y + 8 - Đa thức đã cho trở thành : y(y + 8) + 15 = y + 8y + 15 = y + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) - Trả lại biến cũ (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x + 8x +7 + 5)(x + 8x + 7 + 3) = (x + 8x + 12)(x + 8x + 10) = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) 3. Bài tập Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử. (x + x) - 2(x + x) - 15 (x + 3x + 1)(x + 3x + 2) - 6 (x + 4x + 8) + 3x(x + 4x + 8) + 2x Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) - 4 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x 3x - 4x + 2x - 8x + 2x - 4x + 3 VIII/ Phương Pháp hệ số bất định Phương Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tương ứng của chúng phải bằng nhau. a x + a x + ... + ax + ax + a = bx + bx + ... + bx + b x + b Û a = b " i = 1; n 2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Ví dụ 1: A = x + 11x + 30 Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích được thì A có dạng. A = (x + a)(x + bx + c) = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac Û x + 11x + 30 = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac Đồng nhất hệ số, ta có Chọn a = 2 c = 15; b = -2 Vậy (x + 11x + 30) = (x + 2)(x - 2x + 15) 2.2 Ví dụ 2: B = x - 14x + 15x - 14x +1 Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích được thành nhân tử thì B có dạng: B = (x + ax + b)(x + cx + d) ÛB = x + (a + c)x + (ac + b + d)x + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hệ số, ta có: hoặc Do vậy B = (x - x + 1)(x - 13x + 1) hoặc B = (x - 13x + 1)(x - x + 1) Bài tập Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử x + 4x + 5x + 2 2x - 3x -7x + 6x + 8 5x + 9x - 2x - 4x - 8 Bài 17: Tìm a, b, c x - 2x + 2x - 2x + a = (x - 2x + 1)(x + bx + c) x + 3x - x - 3 = (x - 2)( x + bx + c) + a 4x + 7x + 7x - 6 = (ax + b)(x + x +1) + c IX/ Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Khi các biến có vai trò như nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử. 2.1: Ví dụ 1: P = (x + y + z) - x - y - z Bài Làm Coi P là một đa thức biến x Khi đó nếu x = -y thì P = 0 P M (x + y) Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên. P M (x + z) P M (y + z) P = (x + y)(x + z)(y + z).Q Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số. Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3 Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) Ví dụ 2: M = a(b + c)(b - c) + b(c + a)(c - a) + c(a + b)(a - b) Bài Làm Coi M là đa thức biến a Khi a = b thì M = 0 ÞM M (a - b) Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên : M M (b - c) M M (c - a) M = (a - b)(b -c)(c - a)N Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a. Nhưng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên: N = (a + b + c)R (R là hằng số) Þ M = (a - b)(b -c)(c - a)(a + b + c)R Chọn a = 0, b = 1, c = 2 Þ R = 1 Vậy B = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) Bài tập Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) X. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức 1. Phương pháp Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do. 2. Ví dụ: x3 + 3x - 4 Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra - ac = - 4 suy ra a là ước của - 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tư không đổi. Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiểm tra ta thấy1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x - 1) Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x - 1) * Cách 1: x3 + 3x2 - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4 = x2(x - 1) + 4(x - 1) (x + 1)= (x - 1) (x2 + 4x + 4) = (x - 1) (x + 2)2 * Cách 2: x3 + 3x2 - 4 = x 3- 1 + 3x2 - 3 = (x3 - 1) + 3(x2 - 1) = (x - 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 - 1)= (x - 1) (x + 2)2 Chú ý: + Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x - 1). + Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1). Ví dụ : * Đa thức : x3 - 5x2 + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0 Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số (x - 1) *Đa thức : x3 - 5x2 + 3x + 9 có (- 5) + 9 = 1 + 3 Suy ra đa thức có nghiệm là - 1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1). +Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghiệm hữu tỷ . Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất. Ví dụ: 2x3 - 5x2 + 8x - 3 Nghiệm hữu tỷ Nếu có của đa thức trên là : (- 1); 1 ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- 3.. Sau khi kiểm tra ta thấy x =1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - ) hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1). 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3 =x2 (2x - 1) - 2x(2x -1) + 3(2x -1) =(2x - 1)(x2 - 2x + 3) XI. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai a) Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c Nếu b2 - 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết . Nếu b2 - 4ac không là bình phương của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa . b) Ví dụ: 2x2 - 7x + 3 Với a =2 , b =- 7 , c = 3 Xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55 Suy ra Phân tích được thành nhân tử : 2x2 - 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1) Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 , x2 thì P(x) =a( x - x1)(x - x2) Phần 2: CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I). Bài toán rút gọn biểu thức 1. Phương pháp +Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung. +áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung. Þ Học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức giúp phát triển tư duy suy luận lôgic, sáng tạo. 2)Ví dụ: Rút gọn biểu thức A = B = Bài Làm a) A = A = A = A = b) MTC = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) B = B = B = 3. Bài tập Bài 19. Rút gọn biểu thức A = B = C = D = Bài 20. Rút gọn biểu thức A = B = Bài 21. Cho x2 - 4x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = II) Bài toán giải phương trình bậc cao. Phương pháp: áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về phương trình tích AB = 0 hoặc A = 0 hoặc B = 0 Ví dụ: Giải phương trình * Ví dụ 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = 0 x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = 0 x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0 (x- 5)(x2- 2x + 5) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {5} * Ví dụ 2: (2x2 + 3x - 1) 2 - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = 0 (1) Đặt: 2x2 + 3x - 1 = t (*) Þ 2x2 + 3x + 3 = t + 4 Phương trình đã cho trở thành: t2 - 5(t + 4) + 24 = 0 Û t2 - 5t + 4 = 0 Û (t - 1)(t - 4) = 0 Û Û + Thay t = 1 vào (*), ta có: 2x2 + 3x - 1 = 1 Û 2x 2 + 3x - 2 = 0 Û (2x 2 + 4x) - x - 2 = 0 Û 2x(x + 2) - (x + 2) = 0 (x + 2) (2x - 1) = 0 + Thay t = 4 vào (*), ta có : 2x2 + 3x - 1 = 4 Û 2x 2 + 3x - 5 = 0 Û (x - 1)( 2x +5) = 0 Û Vậy phương trình (1) có tập nghiệm: S = { -2; ;; 1} * Ví Dụ 3: (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (1) Û (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40 Û (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40 Đặt x2 + 6x + 5 = t (*) Þ x2 + 6x + 8 = t + 3 Phương trình đã cho trở thành: t(t + 3) = 40 Û t2 + 3t - 40 = 0 Û (t - 5)(t + 8) = 0 Û Thay t = 5 vào (*), ta có: x2 + 6x + 5 = 5 Ûx2 + 6x = 0 Ûx(x + 6) = 0 Û Thay t = -8 vào (*), ta có: x2 + 6x + 5 = - 8 Û x2 + 6x + 13 = 0 Ûx2 + 2x + + = 0 Û (x + )2 + = 0 (Vô lý) Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6} Ví dụ 4: Giải phương trình đối xứng bậc chẵn x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 (4) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (4) Þ Chia hai vế của (4) cho x ¹ 0, ta được x + 3x + 4 + 3 + = 0 (x2 +) + 3(x + ) + 4 = 0 Đặt x + = t (*) Þ x + = t - 2 Phương trình đã cho trở thành : t + 3t + 2 = 0 (t + 1)(t + 2) = 0 Thay t = - 1 vào (*), ta được : x + = -1 x + x + 1 = 0 (Vô nghiệm) Thay t = - 2 vào (*), ta được : x + = - 2 x + 2x + 1 = 0 (x + 1) = 0 x = -1 Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = {-1} *Ví dụ 5: Giải Phương trình đối xứng bậc lẻ x - x + 3x + 3x - x + 1 = 0 (5) Có x = - 1 là 1 nghiệm của phương trình (5). Do đó (5) Û (x + 1)(x - 2x + 5x - 2x + 1) = 0 Giải phương trình đối xứng bậc chẵn. x4 - 2x3 + 5x2 - 2x + 1 = 0 (5') Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (5'). Chia cả 2 vế của (5') cho x¹ 0, ta có: x - 2x + 5 - 2 + = 0 Û (x + ) - 2(x + ) + 5 = 0 Đặt (x + ) = t (*) Þ (x + ) = t - 2 (5') Û t - 2t +3 = 0 Û (t - 1) + 2 = 0 ( vô nghiệm) Vậy Phương trình (5) có tập nghiêm S = {-1} Bài tập: Bài 22: Giải phương trình 2x + 3x +6x +5 =0 x - 4x - 19x + 106x - 120 = 0 4x + 12x + 5x - 6x - 15 = 0 x + 3x + 4x + 2 = 0 Bài 23: giải phương trình x(x + 1) (x - 1)(x+ 2) = 24 (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680 (2x + 1)(x+ 1)(2x + 3) = 18 12x + 7)(3x + 2)(2x + 1) = 3 Bài 24: giải phương trình (x - 6x + 9) - 15(x - 6x + 10) = 1 (x + x + 1) +(x + x + 1) - 12 = 0 (x + 5x) - 2x - 10x = 24 Bài 25: giải phương trình x- 2x + 4x - 3x + 2 = 0 x - 3x + 4x - 3x + 1 = 0 2x - 9x + 14x - 9x + 2 = 0 x + x + x + x +x+ x + 1 = 0 Bài 26: giải phương trình: x + 2x + 3x + 3x + 2x + 1 = 0 D. Kết luận chung Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức. Trong năm qua tôi đã vận dụng phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất, kể cả các bài tập vận dụng rút gọn biểu thức thì ý nghĩa của việc phân tích các đa thức tử và mẫu của các phân thức rất quan trọng, nó không những giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu có thể) mà còn giúp việc tìm tập xá định, tìm mẫu thức chung của biểu thức . Số học sinh nắm vững các phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử vào vận dụng được vào các bài tập là 95% Rất mong sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp . Xin chân thành cảm ơn !Cách Tính Diện Tích Xây Dựng
Cách tính diện tích xây dựng nhà theo m2 là phương áp được các nhà thầu áp dụng nhiều nhất hiện nay. Phương pháp tính chi phí giá xây nhà dựa trên diện tích xây dựng là một cách đơn giản nhất chính là cách tính dựa vào m2 xây dựng nhà ở hay còn gọi là m2 xây dựng nhà phố nhân với đơn giá của từng hạng mục. Trong đó cách tính m2 xây dựng được tính bằng diện tích các sàn, trần,.. nhân với hệ số phần trăm tính diện tích quy đổi.
Diện tích có hao phí chi phí xây dựng là diện tính bao gồm những diện tích được thể hiện trong giấy phép xây dựng và những phần diện tích không được thể hiện trong giấy phép xây dựng, nhưng tại đó có hao phí chi phí xây dựng.
Không ít trường hợp chủ nhà sau khi thỏa thuận giá cả với nhà thầu xong, đến lúc ký hợp đồng lại cảm thấy không vừa ý do thấy phần diện tích nhà thầu tính lớn hơn diện tích ghi trong giấy phép xây dựng rất nhiều.
Nguyên nhân do sự chênh lệch thường xuất phát từ các phần diện tích sau: móng, giếng trời, ban công, sân thượng (không có mái che) hoặc giàn lam – vì kèo trang trí, sân sau sân trước.
Diện tích ghi trong giấy phép chỉ tính sàn, không tính diện tích phần móng, sân cầu thang và giếng trời, không tính thêm % mái nên thường nhỏ hơn diện tích thực tế. Ví dụ như cầu thang và giếng trời, tuy không đổ sàn nhưng phải làm cầu thang và xây tường thông… nên có thể còn tốn kém hơn cả đổ sàn. Do đó, những phần này không trừ phần diện tích này khi tính toán.
Cụ thể các cách tính diện tích xây dựng như sau
+ Gia cố nền móng công trình: Tùy theo điều kiện đất nền, điều kiện thi công mà sẽ quyết định loại hình gia cố nền đất (ví dụ: sử dụng cừ tràm hoặc sử dụng cọc ép hoặc cọc khoan nhồi … hoặc không cần gia cố mà chỉ làm móng băng). Phần này sẽ báo giá cụ thể sau khi khảo sát.
+ Gia cố nền trệt bằng phương pháp đổ bê tông cốt thép tính 20% diện tích
+ Móng đơn tính 15% diện tích
Đối với công trình có diện tích sàn trệt ≤ 30m2 : Đài móng trên đầu cọc bê tông cốt thép, cọc khoan nhồi tính 50% diện tích
Nhà cao ≤ 4 tầng: Đài móng trên nền cọc bê tông cốt thép, cọc khoan nhồi tính 35% diện tích
+ Móng băng tính 50% diện tích
+ Hầm có độ sâu nhỏ hơn 1.5m so với code đỉnh ram hầm tính 150% diện tích
+ Hầm có độ sâu nhỏ hơn 1.7m so với code đỉnh ram hầm tính 170% diện tích
+ Hầm có độ sâu nhỏ hơn 2.0m so với code đỉnh ram hầm tính 200% diện tích
+ Hầm có độ sâu lớn hơn 3.0m so với code đỉnh ram hầm tính theo đặc thù riêng
+ Dưới 20m2 có đổ cột, đổ đà kiềng, xây tường rào, lát gạch nền tính 100%
+ Dưới 40m2 có đổ cột, đổ đà kiềng, xây tường rào, lát gạch nền tính 70%
+ Trên 40m2 có đổ cột, đổ đà kiềng, xây tường rào, lát gạch nền tính 50%
+ Phần diện tích có mái che phía trên tính 100% diện tích
+ Phần diện tích không có mái che nhưng có lát gạch nền tính 60% diện tích
+ Ô trống trong nhà:
+ Mái bê tông cốt thép, không lát gạch tính 50% diện tích của mái, có lát gạch tính 60% diện tích của mái.
+ Mái ngói vì kèo sắt tính 60% diện tích nghiên của mái
+ Mái bê tông dán ngói tính 85% diện tích nghiên của mái
+ Mái tôn tính 30% diện tích của mái
Bạn đang xem bài viết Công Thức Tính Nhanh Tỉ Số Thể Tích Khối Đa Diện trên website Sansangdethanhcong.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!