Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Đáp Toán Học: Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Hoán Vị Là Gì? mới nhất trên website Sansangdethanhcong.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Tổ hợp là gì?
Trong Toán học, tổ hợp là cách chọn những phần tử chứa từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự.
Ví dụ: Có ba loại quả đó là một quả táo, một quả cam và một quả lê. Từ đây ta sẽ có ba cách để kết hợp hai loại quả từ tập hợp này như sau: một quả táo và một quả cam, một quả cam và một quả lê, một quả lê và một quả táo.
Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của n phần tử chính là một tập hợp con của tập hợp mẹ S bao gồm n phần tử. Tập hợp con này sẽ gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử sẽ bằng với hệ số nhị thức.
Công thức trên có thể được viết dưới dạng giai thừa:
Trong đó:
Các tổ hợp có thể là tổ chập bao gồm k các phần tử khác nhau lấy từ n phần tử có sự lặp lại hoặc không lặp lại.
Chỉnh hợp là gì?
Trong Toán học thì chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm nào đó lớn hơn và có phân biệt thứ tự. Nó khác với tổ hợp là không phân biệt thứ tự.
Theo khái niệm, chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử. Tập con này gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp xếp theo thứ tự.
Số chỉnh hợp chập k của một tập S thường được tính theo công thức sau:
Ví dụ: Với tập hợp E = {a,b,c,d}. Chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử trong E sẽ là:
Trong Tiếng Việt, chỉnh hợp được ký hiệu bằng chữ A, đây là viết tắt của “Arrangement”.
Hoán vị là gì?
Cho tập hợp A gồm có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A sẽ được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Công thức hoàn vị:
Ký hiệu hoán vị của n phần tử là: Pn.
Phân biệt tổ hợp chỉnh hợp
Để phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ta có thể dựa vào định nghĩa của hai thuật ngữ này.
Đối với chỉnh hợp:
Trong n phần tử của tập hợp A ta sẽ lấy ra k phần tử. Trong k phần tử đã lấy ra này ta sắp xếp chúng theo một thứ tự và mỗi cách sắp xếp như vậy ta sẽ được một chỉnh hợp. Ví dụ ta lấy ra 3 số là 1, 2, 3 sau đó từ 3 số này ta lại sắp xếp thành các số có 3 chữ số. Như vậy ta sẽ có các số như sau: 123, 132, 312, 321, 213, 231. Qua đây bạn có thể nhận thấy với việc thay đổi vị trí ra đã có được 6 số khác nhau và mỗi số đó lại là 1 chỉnh hợp.
Đối với tổ hợp
Tròn n phần tử của tập hợp A ta lấy ra một tập con gồm k phần tử. Khi nói đến khái niệm tổ hợp ta sẽ không phân biệt vị trí hay thứ tự của các phần tử trong đó, mà chúng ta chỉ quan tâm xem trong tập đó có bao nhiêu phần tử thôi. Mỗi cách ta sẽ lấy ra một tập con gồm k phần tử cứu như vậy ta thu được một tổ hợp.
Ví dụ: Ta lấy ra 3 phần tử là các số: 1, 2, 3. Sau đó các số này ta sẽ đặt vào các vị trí khác nhau trong tập con. Từ đó, ta thu được các tập con là: A = {1; 2; 3}; B = {1; 2; 3}; C = {2; 2; 3}; D = {2; 3; 1}; E = {3; 1; 2}; F = {3; 2; 1}.
Qua đây các bạn sẽ thấy chúng ta thu về được 6 tập con là A, B, C, D, E, F thế nhưng các phần tử vẫn là 1, 2, 3. Vậy nên 6 tập con ở trên là bằng nhau hay nói đơn giản thì chúng là một.
Các dạng bài tập của tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị
Các dạng bài tập phổ biến của tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị đó là:
Dạng 1 là bài toán đếm
Dạng 2 là xếp vị trí – cách chọn và phân công công việc
Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp Và Bài Tập Áp Dụng
I. Tóm tắt lý thuyết hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
1. Quy tắc đếm
a) Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m cách.
b) Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B . Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.
2. Hoán vị
+ Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
+ Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn=n!=n(n-1)(n-2)…1.
+ Chú ý: 0! = 1
* Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
° Lời giải: Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.
⇒ Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp.
* Ví dụ 2.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
° Lời giải:
– Gọi A=a1a2a3a4a5 với a1≠0 và a1, a2, a3, a4, a5 phân biệt là số cần lập.
+ Bước 1: chữ số a1≠0 nên có 4 cách chọn a1.
+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.
⇒ Vậy có 4.24 = 96 số.
3. Chỉnh hợp
+ Định nghĩa: Cho một tập A gồm n phần tử (n≥1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
+ Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤k≤n) là:
* Ví dụ 3. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
° Lời giải:
– Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7.
⇒ vậy có tổng cộng 2520 cách sắp.
* Ví dụ 4. Từ tập hợp X={0;1;2;3;4;5} có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
° Lời giải:
- Gọi A=a1a2a3a4với a1≠0 và a1, a2, a3, a4, phân biệt là số cần lập
+ Bước 1: chữ số a1≠0 nên có 5 cách chọn a1.
4. Tổ hợp
+ Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n≥1). Mỗi cách chọn ra k (n ≥ k ≥ 1) phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
+ Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1≤k≤n) là:
* Ví dụ 5. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách.
° Lời giải: Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10. vậy ta có:
⇒ Vậy có 210 cách.
II. Bài tập áp dụng Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
* Bài tập 1. Trong một trường, khối 11 có 308 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh khối 11 đi tham dự cuộc thi “huyền thoại đường Hồ Chí Minh trên biển” cấp huyện?
° Lời giải:
Trường hợp 1. Chọn 1 học sinh nam. có 308 cách
Trường hợp 2. Chọn 1 học sinh nữ. Có 325 cách
Vậy, có 308 + 325 = 633 cách chọn một học sinh tham dự cuộc thi trên.
* Bài tập 2. Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba.
P(x) =ax3+bx2+cx+d mà ác hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3,-2,0,2,3}. Biết rằng.
a) Các hệ số tùy ý;
b) Các hệ số đều khác nhau.
° Lời giải:
a) Có 4 cách chọn hệ số a (vì a≠0). Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 4 cách chọn hệ số d. Vậy có. 4.5.5.5 =500 đa thức.
b) Có 4 cách chọn hệ số a (a≠0).
– Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b.
– Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c.
– Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d.
Theo quy tắc nhân ta có. 4.4.3.2=96 đa thức.
* Bài tập 3. Một lớp trực tuần cần chọn 2 học sinh kéo cờ trong đó có 1 học sinh nam, 1 học sinh nữ. Biết lớp có 25 nữ và 15 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh kéo cờ nói trên.
° Lời giải:
Chọn học sinh nam ta có 15 cách chọn
Ứng với 1 học sinh nam, chọn 1 học sinh nữ có 25 cách chọn
Vậy số cách chọn là 15. 25=375 cách.
* Bài tập 4. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ra số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số?
b) Có bao nhiêu số lẻ?
° Lời giải:
a) Số tự nhiên có bốn chữ số dạng là: abcd
Có 7 cách chọn a
Có 6 cách chọn b
Có 5 cách chọn c
Có 4 cách chọn d
Vậy có 7.6.5.4 = 840 số
b) Cách tính các số lẻ:
Cách 1. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số dạng:abcd
Vì số lẻ nên tận cùng là số lẻ nên d có 4 cách chọn.
Có 6 cách chọn a
Có 5 cách chọn b
Có 4 cách chọn c
Vậy có 4.6.5.4 = 480 số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau
Cách 2. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau dạng: abc1 hoặc abc3 hoặc abc5 hoặc abc7
+ Xét số dạng abc1
chọn a có 6 cách
chọn b có 5 cách
chọn c có 4 cách
Vậy có 6.5.4 = 120 số lẻ dạng abc1
+ Tương tự các trường hợp còn lại. Vậy có 4.120 = 480 số lẻ có bốn chữ số được lập từ các số đã cho.
* Bài tập 5. Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. lập ra số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số.
b) Có bao nhiêu số chia hết cho 5.
° Lời giải:
a) Số tự nhiên có 3 chữ số dạng: abc
Có 6 cách chọn a vì a≠0.
Có 6 cách chọn b
Có 5 cách chọn c
Vậy có 6.6.5 = 180 số
b) Số tự nhiên có 3 chữ số và chia hết cho 5 dạng: ab0 hoặc ab5
+ Xét số dạng ab0
Có 6 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 6.5 = 30 số
+ Xét số dạng ab5
Có 5 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 5.5 = 25 số
⇒ Tổng số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5 là 30+25=55 số
* Bài tập 6. Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm tám người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
° Lời giải:
Mỗi cách xếp 8 người thành một hàng dọc là một hoán vị của 8 phần tử.
Vậy số cách xếp 8 người thành hàng dọc là: 8! = 8.7.6.5.4.3.2 = 40320 (cách xếp)
* Bài tập 7. Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 5 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bởi số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có có thể tạo bao nhiêu tín hiệu nếu.
a) Cả 5 lá cờ đều được dùng;
b) Ít nhất một lá cờ được dùng.
° Lời giải:
a) Nếu dùng cả 5 lá cờ thì một tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ.
Vậy có: 5! =120 tín hiệu được tạo ra.
b) Mỗi tín hiệu được tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy tắc cộng, có tất cả.
* Bài tập 8. Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.
° Lời giải:
Để xác định số cách xếp ta phải làm theo các công đoạn như sau.
Chọn 3 nam từ 6 nam. có C36 cách.
Chọn 2 nữ từ 5 nữ. có C25 cách.
Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau. có 5! Cách.
* Bài tập 9. Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thầy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Có bao nhiêu cách lập sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai.
° Lời giải:
♦ TH1. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q. Khi đó ta cần chọn 2 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P) rồi chọn 2 trong 4 cô (trừ cô Q)
Có C26 . C24 = 90 (vì C26 = 15, C24 = 6)
♦ TH2. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P. Khi đó ta cần chọn 3 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P) rồi chọn 1 trong 4 cô (trừ cô Q)
Có C36 . C14 = 80 (vì C36 = 20, C14 = 4)
Vậy, có C26 . C24 + C36 . C14 = 90 + 80 = 170 cách lập hội đồng coi thi.
Sinh Các Hoán Vị Và Tổ Hợp
Có nhiều thuật toán đã được phát triển để sinh ra n! hoán vị của tập
{1,2,…,n}. Ta sẽ mô tả một trong các phương pháp đó, phương pháp liệt kê các hoán vị của tập {1,2,…,n} theo thứ tự từ điển. Khi đó, hoán vị chúng tôi được gọi là đi trước hoán vị chúng tôi nếu tồn tại k (1 ≤ k ≤ n), a1 = b1, a2 = b2,…, ak-1 = bk-1 và ak
< bk.
Thuật toán sinh các hoán vị của tập {1,2,…,n} dựa trên thủ tục xây dựng
hoán vị kế tiếp, theo thứ tự từ điển, từ hoán vị cho trước a1 a2 chúng tôi Đầu tiên nếu an-1
< an thì rõ ràng đổi chỗ an-1 và an cho nhau thì sẽ nhận được hoán vị mới đi liền sau
Cặp số nguyên đầu tiên tính từ phải qua trái có số trước nhỏ hơn số sau là a3
= 3 và a4 = 6. Số nhỏ nhất trong các số bên phải của số 3 mà lại lớn hơn 3 là số 5. Đặt số 5 vào vị trí thứ 3. Sau đó đặt các số 3, 6, 1, 2 theo thứ tự tăng dần vào bốn vị trí còn lại. Hoán vị liền sau hoán vị đã cho là 4751236.
2, 1))
j := n － 1
j := j － 1 {j là chỉ số lớn nhất mà aj < aj+1}
k := n
k := k – 1 {ak là số nguyên nhỏ nhất trong các số lớn hơn aj và bên
{Điều này sẽ xếp phần đuôi của hoán vị ở sau vị trí thứ j theo thứ tự tăng dần.}
Làm thế nào để tạo ra tất cả các tổ hợp các phần tử của một tập hữu hạn? Vì tổ hợp chính là một tập con, nên ta có thể dùng phép tương ứng 1-1 giữa các tập con của {a1,a2,…,an} và xâu nhị phân độ dài n.
Ta thấy một xâu nhị phân độ dài n cũng là khai triển nhị phân của một số
nguyên nằm giữa 0 và 2n － 1. Khi đó 2n xâu nhị phân có thể liệt kê theo thứ tự tăng dần của số nguyên trong biểu diễn nhị phân của chúng. Chúng ta sẽ bắt đầu từ xâu nhị phân nhỏ nhất 00…00 (n số 0). Mỗi bước để tìm xâu liền sau ta tìm vị trí đầu tiên tính từ phải qua trái mà ở đó là số 0, sau đó thay tất cả số 1 ở bên phải số này bằng 0 và đặt số 1 vào chính vị trí này.
procedure Xâu nhị phân liền sau (bn-1bn-2…b1b0): xâu nhị phân khác (11…11)
i := 0
a2 = 3, sau đó đặt a3 = 3 + 1 = 4 và a4 = 3 + 2 = 5. Vậy tổ hợp liền sau tổ hợp đã cho là {1,3,4,5}. Thủ tục này được cho dưới dạng thuật toán như sau.
procedure Tổ hợp liền sau ({a1, a2, …, ak}: tập con thực sự của tập {1, 2, …, n}
không bằng {n － k + 1, …, n} với a1 < a2 < … < ak)
i := k
ai := ai + 1
aj := ai + j － i
Phân Biệt &Amp; Cách Sử Dụng Tổ Hợp, Chỉnh Hợp Trong Toán Lớp 11
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A, sắp xếp chúng theo 1 thứ tự nào đó được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu chỉnh hợp: A kn là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1≤ k ≤ n )
A kn = n! / (n−k)! = n.(n−1).(n−2).(n−3)… / (n−k ).(n – k – 1).(n – k – 2)….
Với k = n ⇒ A nn = Pn = n! Tức là 1 hoán vị của n phần tử cũng chính là 1 chỉnh hợp hợp chập n của n phần tử đó.
Quy ước chỉnh hợp: 0! = 1
Tập A có n phần tử ( n ≥ 0, k ≥ 0). Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu như sau: C kn: Là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n )
Số k ở trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện (1 ≤ k ≤ n ). Tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng vì vậy ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
Sự khác nhau giữa Chỉnh hợp và Tổ hợp
Về khái niệm của Chỉnh hợp:
Ta lấy ra k phần tử trong n phần tử của tập A. Từ k phần tử lấy ra ta sắp xếp chúng theo 1 thứ tự nào đó, mỗi cách sắp xếp như vậy ta được 1 chỉnh hợp.
Ví dụ: Ta lấy ra 3 số là 1; 2; 3, từ 3 số này ta lại sắp xếp thành các số có 3 chữ số. Kết quả là ta có là: 123; 231; 132; 213; 312; 321. Với việc thay đổi vị trí ta lại có được các số khác nhau và mỗi số đó là 1 chỉnh hợp.
Về khái niệm Tổ hợp:
Lấy ra tập hợp con gồm k phần từ trong n phần tử của tập A. Trong khái niệm tập hợp thì ra không phân biệt vị trí và thứ tự của những phần tử trong đó, ta chỉ quan tâm xem trong tập đó có bao nhiêu phần tử thôi. Mỗi khi lấy ra 1 tập hợp con gồm k phần tử sẽ cho ta 1 tổ hợp.
Cũng ví dụ trên:
Ta lấy ra 3 phần tử là các số 1; 2; 3, ta đặt các số này vào những vị trí khác nhau trong tập con, chúng ta sẽ có các tập con sau:
A = {1;2;3}; B = {1;3;2}; C = {2;1;3}; D = {2;3;1}; E = {3;1;2}; F = {3;2;1}
Đặt các số vào những vị trí khác nhau ta được các tập con khác nhau. Như ví dụ trên chúng ta có 6 tập con gồm A; B; C; D; E; F nhưng vẫn là các phần tử là 1; 2 và 3. Vì thế 6 tập con trên bằng nhau, tức là chúng chỉ là một và đó là tổ hợp. Trong tập hợp thì không phân biệt vị trí của những phần tử mà chỉ quan tâm trong tập đó gồm những phần tử nào, còn chỉnh hợp phân biệt cả vị trí và thứ tự. Vì vậy, các bạn sẽ thấy số chỉnh hợp bao giờ cũng nhiều hơn số tổ hợp.
Với những chia sẻ ở trên, Gia Sư Việt hi vọng các em phân biệt được khái niệm giữa tổ hợp và chỉnh hợp để áp dụng làm bài tập chính xác nhất. Ngoài ra, nếu học sinh chưa hiểu rõ hoặc cần gia sư Toán tại nhàbổ trợ thêm, phụ huynh có thể liên hệ với chúng tôi để được tư vấn chi tiết. Trung tâm cam kết quý vị không phải trả bất kỳ khoản chi phí nào và có lựa chọn hài lòng nhất cho con em mình !
♦ Kinh nghiệm tìm gia sư môn Sinh lớp 11 cho con ôn thi khối B
♦ Cách học tốt chương định luật Cu lông trong môn Vật lý lớp 11
Bạn đang xem bài viết Giải Đáp Toán Học: Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Hoán Vị Là Gì? trên website Sansangdethanhcong.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!