Xem Nhiều 6/2022 # Luận Văn: Phương Pháp Mô Phỏng Monte Carlo, Hay, 9Đ # Top Trend

Xem 19,800

Cập nhật thông tin chi tiết về Luận Văn: Phương Pháp Mô Phỏng Monte Carlo, Hay, 9Đ mới nhất ngày 27/06/2022 trên website Sansangdethanhcong.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Cho đến thời điểm hiện tại, bài viết này đã đạt được 19,800 lượt xem.

--- Bài mới hơn ---

  • Cfu Là Gì? Mpn Là Gì? Mpn Khác Cfu Như Thế Nào?
  • Sự Khác Biệt Giữa Cfu Và Mpn
  • Hướng Dẫn Cách Ngồi Thiền Đúng Phương Pháp Để Giúp Tâm An Định
  • Cách Ngồi Thiền Đúng Phương Pháp
  • Ortho K Là Gì, Kính Ortho
  • Published on

    Download luận văn thạc sĩ ngành thống kê toán học với đề tài: Phương pháp mô phỏng Monte carlo và ứng dụng vào tài chính, cho các bạn làm luận văn tham khảo

    1. 1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Hoàng Thị Hồng Minh PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO VÀ ỨNG DỤNG VÀO TOÁN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60 46 15 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊNH Hà Nội – 2012
    2. 3. MỤC LỤC 2.2 Định nghĩa quyền chọn bằng lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Kiến thức cơ bản về quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.2 Giới thiệu sơ lược về định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3 Định giá quyền chọn và phương pháp Monte – Carlo trong việc xây dựng mô hình Black – Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 Những hạn chế của mô hình Black – Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Kết luận 64 Phụ lục 65 Tài liệu tham khảo 76 ii
    3. 4. Lời nói đầu Ngày nay, mô phỏng số chiếm một vị trí quan trọng trong nghiên cứu khoa học, bao gồm cả mặt lý thuyết và thực nghiệm. Với sự phát triển nhanh và ngày càng phức tạp của các ngành khoa học nói chung và toán tài chính nói riêng, các phương pháp lý thuyết gặp nhiều khó khăn, bởi lẽ ở đó thường sử dụng tới các phép tính gần đúng. Mô phỏng số có thể kiểm chứng những phép tính gần đúng từ lý thuyết, từ đó góp phần hạn chế sai số. Các kết quả định lượng để mô phỏng số còn được sử dụng để so sánh với các kết quả nghiên cứu thực nghiệm. Ngoài ra, mô phỏng còn được xem như là bước “số hóa thực nghiệm”, nó được tiến hành trước bước thực nghiệm để thu được kết quả tốt hơn, tiết kiệm được chi phí cho các lần thực nghiệm. Một trong những phương pháp mô phỏng phổ biến được ứng dụng trong toán tài chính là phương pháp Monte Carlo với sự giúp đỡ của máy tính. Tên gọi “phương pháp Monte Carlo” xuất hiện trong từ điển toán học vào những năm 1949-1950, nhưng thật ra nó ra đời trong những năm 1943-1944 gần như cùng thời với máy tính điện tử đầu tiên ở Mỹ, và được giới thiệu vào nước ta từ những năm 1963-1964, nhưng thực sự được áp dụng phổ biến từ sau những năm 1975-1977. Phương pháp Monte Carlo là phương pháp thường được dùng để mô phỏng các hiện tượng xác suất, những hiện tượng không thay đổi đặc tính theo thời gian, nó cũng được sử dụng để tính toán các biểu thức không theo xác suất bằng cách sử dụng phương pháp theo xác suất. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo được ứng dụng phổ biến trong các ngành công nghiệp tài chính và bảo hiểm. Nó là công cụ cần thiết cho các kỹ sư và chuyên gia tính toán tài chính khi phải tính toán các loại giá cả hay tính toán rủi ro phức tạp. Do đó, tác giả đã chọn cách tiếp cận kết hợp trình bày lý thuyết phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các cách cải tiến và ứng dụng của nó trong việc mô phỏng nghiệm của các quá trình vi phân ngẫu nhiên, cũng như các ứng dụng để định giá quyền chọn trong lĩnh vực toán tài chính. Bố cục luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, tác giả giới thiệu về phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các định lí cơ bản, và trình bày các phương pháp khác nhau để tăng tốc độ tính toán mà được gọi 1
    4. 5. MỤC LỤC chung là phương pháp giảm phương sai. Tiếp theo, tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục và mô phỏng Monte Carlo cho chuyển động Brown. Ngoài ra, tác giả còn mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên bằng phương pháp xấp xỉ Milstein và xấp xỉ Euler-Maruyama. Chương 2: Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình toán tài chính Trong chương này, tác giả chủ yếu đề cập đến mô hình Black Scholes, một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black – Scholes. Tác giả cũng trình bày cách xác định các hệ số thị trường chứng khoán (µ: tỉ lệ trung bình của giá cổ phiếu luân chuyển; σ: độ biến động giá của cổ phiếu). Tác giả đã trình bày hai loại định giá quyền chọn, quyền chọn bán và quyền chọn mua, bằng lý thuyết. Tác giả cũng đã thu thập một bộ dữ liệu thật về giá cổ phiếu và dùng nhiều phương pháp khác nhau để tính toán sau đó so sánh các kết quả chạy máy này với các kết quả do lý thuyết chứng minh được. Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn đọc. Tác giả xin chân thành cảm ơn! 2
    5. 6. Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Thịnh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tác giả xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2010 – 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho bản luận văn của tác giả. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình. Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn Hoàng Thị Hồng Minh 3
    6. 7. Chương 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo Phương pháp mô phỏng Monte Carlo hay còn gọi là phương pháp thử thống kê được định nghĩa như là phương pháp tính, bằng cách biểu diễn nghiệm các bài toán dưới dạng các tham số của một đám đông lý thuyết và sử dụng dãy số ngẫu nhiên để xây dựng mẫu đám đông mà từ đó ta thu được ước lượng thống kê của các tham số. Nói cách khác, phương pháp Monte Carlo cung cấp những lời giải gần đúng cho các bài toán bằng cách thực hiện các thí nghiệm lấy mẫu thống kê sử dụng số ngẫu nhiên. Ý tưởng chính của phương pháp Monte Carlo là xấp xỉ một kỳ vọng E(X) bởi trung bình cộng các kết quả của nhiều lần thí nghiệm độc lập, trong đó các biến ngẫu nhiên X có cùng phân phối. Cơ sở lý thuyết của phương pháp này là một trong những kết quả quan trọng của lý thuyết xác suất, đó là Luật mạnh số lớn. 1.1.1 Luật mạnh số lớn Định lí 1.1.1. Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối và được xác định trên một không gian xác suất (Ω, ,P). Đặt : µ = E(X1) Khi đó, với mọi ω ∈ Ω: 1 n n ∑ i=1 Xi(ω) n→∞ −−−→ µ,P−h.c.c (Xem chứng minh trong ) Định lí 1.1.4. (Định lí giới hạn trung tâm) Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với X, được xác định trên một không gian xác suất (Ω, ,P). Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn σ2 = Var(X). Khi đó: ∑n i=1 Xi −n.µ √ n.σ D −→ N (0;1); khi n → ∞ (Xem chứng minh trong 2. Thí nghiệm được thực hiện bằng cách lấy ngẫu nhiên các điểm P1,P2,…,Pn của hình vuông đơn vị và giả sử rằng: Xi = 1Pi∈C 5
    7. 9. Chương 1. Cơ sở lý thuyết Khi đó : Pi ∈ int(C ) hoặc Pi ∈ bound(C ) Do đó, ta ngầm giả sử rằng điểm được chọn có phân bố đều trên của ước lượng Monte Carlo được tính : n 100 10.000 100.000 ˆπlow 2.477 3.0938 3.13105 ˆπup 3.203 3.1598 3.15183 Bảng 1.2 (Ước lượng Monte Carlo cho khoảng tin cậy 95% của π) Ví dụ 2. (Ước lượng xác suất của một biến cố) Ước lượng xác suất của một biến cố là một trong những ứng dụng quan trọng của phương pháp Monte Carlo. Giả sử A là một biến cố nào đó. Ước lượng P(A)? Xét : 1A(ω) =    1 nếu ω ∈ A 0 nếu ω /∈ A 6
    8. 10. Chương 1. Cơ sở lý thuyết Suy ra E(1A) = P(A) và khi đó ước lượng Monte Carlo cho P(A) là tần suất tương đối của số lần xuất hiện của A trong n lần thí nghiệm độc lập. Một cách hình thức, giả sử Ai là số lần xuất hiện A trong thí nghiệm thứ i, khi đó ta định nghĩa ước lượng Monte Carlo cho P(A) như sau: rfn(A) = 1 n . n ∑ i=1 1Ai Khi đó ta cũng có: Var(1A) = P(A).(1−P(A)), ˆσn = rfn(A).(1−rfn(A)) và khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho P(A) là: d g(x)dx (g(x) là hàm bị chặn, nhận giá trị thực.) Hàm mật độ f(x) của phân bố đều d chiều trên d (x); x ∈ Rd Khi đó, với X ∼ U (d g(x)dx = f(x)g(x)dx = E(g(X)) Giả sử X1,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân bố đều trên . Khi đó ước lượng Monte Carlo “thô” sẽ là: f(X) = 1 n . n ∑ i=1 f(Xi) với Xi là các thành phần độc lập của X. Ta sử dụng các số 1−X1,…,1−Xn và định nghĩa ước lượng Monte Carlo xung khắc: fanti(X) = 1 2 .( 1 n n ∑ i=1 f(Xi)+ 1 n n ∑ i=1 f(1−Xi)) (1.1) Chú ý rằng khi cả X và 1 − X có cùng phân bố, thì cả hai tổng ở vế phải của đẳng thức (1.1) đều là ước lượng không chệch của E(f(X)). Do đó ước lượng xung khắc cũng là không chệch. Đặt σ2 = Var(f(X)). Khi đó phương sai của ước lượng xung khắc được cho bởi: Var(fanti(X)) = σ2 2n + 1 2n Cov(f(X), f(1−X)) Mệnh đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Chebyschev.) Giả sử X là một biến ngẫu nhiên giá trị thực. Giả sử f,g là các hàm không giảm với Cov(f(X),g(X)) hữu hạn. Khi đó ta có: E(f(X)g(X)) ≥ E(f(X))E(g(X)) Bằng việc chọn g(x) = −f(1 − x), ta có mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ mệnh đề trên: Mệnh đề 1.2.2. (Giảm phương sai trong trường hợp phân bố đều). Giả sử f là hàm không giảm hoặc không tăng, giả sử X có phân bố đều trên , g(1) = g(0) = 0, max , thì ta sử dụng phân phối tam giác cho biến ngẫu nhiên X, tức là nó có mật độ xác suất : ˜f(x) =    0, nếu x ≤ 0 hoặc x ≥ 1 4x, nếu 0 < x < 1 2 4−4x, nếu 1 2 ≤ x < 1 (1.4) (Xem hình 1.2 và hình 1.3) Hình 1.2: Khi đó giá trị của tích phân sẽ không thay đổi nếu ta lấy mẫu theo hàm mật độ ˜f, ta có: 1 0 x.(1−x)dx = 1 0 x.(1−x) ˜f(x) ˜f(x)dx Điều này có nghĩa rằng khi chúng ta sử dụng phân phối mới, chúng ta có mẫu X(1−X) f(X) để có được ước lượng Monte Carlo mới: Iimp = 1 N N ∑ i=1 Xi(1−Xi) ˜f(Xi) Chú ý rằng, Xi có phân phối theo mật độ ˜f(.) . Một so sánh đơn giản của việc sử dụng ước lượng Monte Carlo giữa xấp xỉ đều và xấp xỉ tam giác với N = 1.000 cho thấy sự vượt trội của phương pháp mới. Kết quả thu được là: 16
    9. 21. Chương 1. Cơ sở lý thuyết và độ đo xác suất của nó là ˜P . Ta có: E(g(X)) = g(x)f(x)dx = g(x) f(x) ˜f(x) ˜f(x)dx = ˜E g(X) f(X) ˜f(X) = ˜E( ˜g(X)) (1.6) Ở đây ˜E(.) là kỳ vọng tương ứng với ˜P. Hàm có trọng số f(X) ˜f(X) được gọi là hàm tỷ số hợp lý của sự thay đổi từ độ đo xác suất P sang ˜P. Ước lượng mẫu chính của µ = E(g(X)) được định nghĩa như sau: Iimp, ˜f,N(g(X)) = 1 N N ∑ i=1 ˜g(Xi) = 1 N N ∑ i=1 g(Xi) f(Xi) ˜f(Xi) Trong đó các Xi là độc lập và có phân phối theo hàm mật độ ˜f của mẫu chính. Nhận xét rằng, ước lượng của mẫu chính là ước lượng không chệch và ước lượng vững. Phương sai của nó được cho bởi: σ2 imp, ˜f,N = ˜Var(Iimp, ˜f,N(g(X))) = 1 N ˜Var( ˜g(X)) = 1 N ˜E ˜g(X)2 − µ2 = 1 N   g(x)2 f(x) ˜f(x) f(x)dx− µ2   (1.7) Khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho E(g(X)): Iimp, ˜f,N(g(X))−1.96 ˜σimp, ˜f,N √ N , Iimp, ˜f,N(g(X))+1.96 ˜σimp, ˜f,N √ N trong đó ˜σimp, ˜f,N là độ lệch tiêu chuẩn mẫu của ước lượng mẫu chính. Nếu g(x) ≥ 0, ∀x ∈ Rd, ta chọn: ˜f(x) = c.f(x).g(x) = f(x).g(x) f(y).g(y)dy thì ˜f là hàm mật độ trên Rd và ta có ˜g(X) = 1 c , tức là: ˜Var Iimp, ˜f,N(g(X)) = 0 Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp là tìm hằng số c bằng phương pháp Monte Carlo, ở đó: µ = 1 c . 18
    10. 26. Chương 1. Cơ sở lý thuyết Hình 1.5: Mật độ ban đầu f(x) và mật độ tỷ lệ mẫu chính ˜f(x) Hình 1.6: Mật độ dịch chuyển ˜f(x) và mật độ dịch chuyển có điều kiện ˜fcond(x) 1.3 Các quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục Quá trình ngẫu nhiên là mô hình toán học của rất nhiều bài toán thực tế xuất hiện trong khoa học và công nghệ. Nó mô tả sự tiến hóa theo thời gian của một hệ thống chịu sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên. Tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ xem xét các hiện tượng như giá cổ phiếu, lãi suất và quá trình bảo hiểm, nhưng người ta cũng có thể xem xét các hiện tượng thiên nhiên như thời tiết hoặc các vấn đề về kỹ thuật như dòng chảy của các hạt tương tác thông qua một số bộ lọc. Quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được xem như một hàm ngẫu nhiên nào đó và sự mô tả các hàm ngẫu nhiên này thường được thông qua các phương trình vi phân ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.3.1. Cho (Ω, ,P) là một không gian xác suất với không gian mẫu Ω, σ- trường F, và độ đo xác suất P. Giả sử I là một tập chỉ số. (a) Họ {Ft}t∈I của σ-trường con của F với Fs ⊂ Ft nếu s < t;s,t ∈ I, được gọi là một lọc. 23
    11. 27. Chương 1. Cơ sở lý thuyết (b) Một họ {(Xt,Ft)}t∈I, gồm một lọc {Ft}t∈I và một họ {Xt}t∈I các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong Rn, sao cho Xt là Ft – đo được, được gọi là một quá trình ngẫu nhiên tương ứng với lọc {Ft}t∈I. (c) Với mỗi ω ∈ Ω cố định, tập: X.(ω) := {Xt}t∈I = {X(t,ω)}t∈I được gọi là một quỹ đạo mẫu. Định nghĩa 1.3.2. Nếu những quỹ đạo mẫu của một quá trình ngẫu nhiên X.(ω) là liên tục (liên tục phải, liên tục trái) thì ta gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục (liên tục phải, liên tục trái). Định nghĩa 1.3.3. (a) Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈I được gọi là có gia số độc lập nếu với mọi r ≤ u ≤ s ≤ t,(r,u,s,t ∈ I) ta có: Xt −Xs độc lập với Xu −Xr (b) Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈I được gọi là có gia số “dừng” nếu với mọi s ≤ t,(s,t ∈ I) ta có: Xt −Xs ∼ Xt−s Nhận xét. Hai tính chất trên sẽ giúp việc phân tích và đặc biệt là mô phỏng quá trình ngẫu nhiên đơn giản hơn. * Nếu quá trình ngẫu nhiên X có các gia số độc lập thì nó sẽ cho dự báo kết quả trong tương lai, tại thời điểm t là Xt. * Nếu quá trình ngẫu nhiên X có gia số dừng thì các tính chất phân phối của quá trình không thay đổi theo thời gian. Điều này không có nghĩa là các Xt có cùng phân bố, mà phân bố của gia số Xt −Xs chỉ phụ thuộc vào sự chênh lệch về thời gian t −s. Do đó ta sẽ nghiên cứu hai lớp cơ bản của quá trình ngẫu nhiên khái quát hai thuộc tính này: * Thuộc tính thứ nhất (với gia số độc lập): là lớp các quá trình Markov mà ở đó phân bố của các giá trị tương lai của quá trình này chỉ phụ thuộc vào quá khứ thông qua giá trị hiện tại của nó. * Thuộc tính thứ hai là của mac-tin-gan, khái quát về ý tưởng của một trò chơi công bằng. Định nghĩa 1.3.4. Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈I nhận giá trị trên Rd, xác định trên một không gian xác suất (Ω, ,P) được gọi mà một quá trình Markov với phân bố ban đầu ν nếu ta có: P(X0 ∈ A) = ν(A), ∀A ∈ B(Rd ) 24
    12. 31. Chương 1. Cơ sở lý thuyết 1.3.2.2 Hội tụ yếu và định lí Donsker Định nghĩa 1.3.11. Giả sử (S,B(S)) là một không gian metric với metric ρ và σ−trường Borel B(S) của S. Gọi P,Pn, n ∈ N là các độ đo xác suất trên (S,B(S)). Khi đó, ta nói dãy Pn hội tụ yếu tới P nếu với mỗi hàm f liên tục, bị chặn, nhận giá trị thực trên S, ta có: S f dPn n→∞ −−−→ S f dP Định nghĩa 1.3.12. Giả sử Xn = {Xn(t)}t∈,R) Như vậy ta có: E(f(Xn)) = f dPn, E(f(X)) = f dP hội tụ yếu của quá trình ngẫu nhiên có nghĩa là hội tụ yếu của các phân phối xác suất cơ bản Pn → P. Định lí 1.3.13. Giả sử P,Pn, n ∈ N là các độ đo xác suất trên không gian metric (S,B(S)) với metric ρ. Hơn nữa, gọi h : S → S là một ánh xạ đo vào không gian metric S với metric ρ và σ− trường Borel B(S ). Giả sử Dh – tập các điểm gián đoạn của h là một tập không, tức là: P(Dh) = 0 Khi đó sự hội tụ theo phân phối được bảo toàn qua ánh xạ h: Pn n→∞ −−−→ P theo phân phối ⇒ Pn.h−1 n→∞ −−−→ P.h−1theo phân phối Nhận xét. Các ánh xạ liên tục bảo toàn sự hội tụ theo phân phối. (Rk,B(Rk)) cũng là một không gian xác suất. Giả sử Xn,X là các quá trình ngẫu nhiên liên tục, giá trị thực. Cố định k thời điểm: 0 ≤ t1 < … < tk ≤ 1, theo định lí 1.3.13 ta có: Xn n→∞ −−−→ X theo phân phối khi đó (Xn(t1),…,Xn(tk)) n→∞ −−−→ (X(t1),…,X(tk)) theo phân phối Định lí 1.3.14. (Donsker) Giả sử {ξn}n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, với E(ξi) = 0, 0 < Var(ξi) = σ2 < ∞. Đặt: S0 = 0, Sn = n ∑ i=1 ξn 28
    13. 34. Chương 1. Cơ sở lý thuyết Hình 1.8: Mô phỏng các quỹ đạo mẫu của một cầu Brown từ 0 tới 1 (n = 100) (b) Với một quá trình đơn giản {Xt}t∈: It(X) := t 0 Xs dWs := ∑ 1≤i≤p Φi(Wti∧t −Wti−1∧t) Định lí 1.3.23. (Những tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhiên) Giả sử X là một quá trình đơn giản. Khi đó ta có: (a) {(It(X),Ft)}t∈ (b) Phương sai của tích phân Itô được xác định như sau: E   t 0 Xs dWs   2 = E   t 0 X2 s dWs   ∀t ∈ ×Ω → Rn , (s,ω) → Xs(ω) 31
    14. 44. Chương 1. Cơ sở lý thuyết * Dùng ký hiệu cho tích phân Itô lặp trên khoảng thời gian . Trường hợp 2: Với m = 1 và d ∈ {1,2,…}, thành phần thứ k của sơ đồ Euler – Maruyama cho (1.22) có dạng: Yk n+1 = Yk n +ak (tn,Yn)∆+bk (tn,Yn)∆W (k = 1,…,d) Trường hợp 3 (tổng quát): Với m ∈ {1,2,…} và d ∈ {1,2,…}, thành phần thứ k của sơ đồ Euler – Maruyama cho (1.22) có dạng: Yk n+1 = Yk n +ak (tn,Yn)∆+ m ∑ j=1 bk j (tn,Yn)∆W j (k = 1,…,d) với ∆W j = W j tn+1 −W j tn ∼ N(0;∆) (j ∈ {1,…,m}) là số gia của thành phần thứ j của quá trình Wiener m−chiều Wt trên } là quá trình Itô 1 – chiều thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính: dXt = 2Xtdt +XtdWt Phương trình này có nghiệm đúng là: Xt = X0e 3 2t+Wt 41
    15. 45. Chương 1. Cơ sở lý thuyết Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian ∆ của , sơ đồ Milstein cho Xt xấp xỉ như sau:    Yn+1 = Yn +2Yn∆+Yn∆W + 1 2Yn (∆W)2 −∆ Y0 = X0 (1.26) Cho T = 1,X0 = 1 ta có một quỹ đạo mô phỏng của nghiệm đúng (với bước thời gian dt = 2−8) và một quỹ đạo mô phỏng của xấp xỉ Milstein (với bước thời gian ∆ = Dt = 16dt = 2−4). Hình 1.11: Nghiệm số của SDE tính bởi Milstein 43
    16. 52. Chương 2. Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính Như vậy rõ ràng là giá cổ phiếu là một hàm theo thời gian và chuyển động Brown: f(t,W(t)). Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên với một cổ phiếu: dS1(t) = µS1(t)dt +σS1(t)dB(t) (2.10) dt và dB(t) là các hàm bậc nhất của S1(t) (giá của một cổ phiếu tại thời điểm t), µ và σ là các hằng số. Lời giải của phương trình (2.10) là một quá trình ngẫu nhiên S1(t) = S1(t,ω) có dạng : S1(t) = S1(0).exp σBt + µ − σ2 2 t (2.11) Quá trình S1(t) này được gọi là một chuyển động Brown hình học, S1(0) là giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểm t = 0. 2.1.2 Xác định các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học S(t) Nhận xét rằng, nếu ta có thể ước lượng các tham số µ và σ thì sẽ ước lượng được giá S1(0) của cổ phiếu tại thời điểm t. Giả sử xét giá cổ phiếu S1(t) trong một khoảng thời gian quan sát với n khoảng đều như nhau có độ dài ∆t = ti −ti−1, ∀i = 0,…,n, thì giả sử là đã biết giá chứng khoán tại thời điểm cuối ti+1 của mỗi khoảng nhỏ [ti;ti+1]. Vậy ta có n+1 quan sát S1,S2,…,Sn+1. Bước 1. Tạo ra một dãy số liệu: Zi = ln(Si+1)−ln(Si) (2.12) Z1,Z2,…,Zn là một dãy số. Theo công thức của chuyển động Brown hình học (2.11) ta có biểu thức: Zi = σ (Bti+1 −Bti)+ µ − σ2 2 ∆t (2.13) Bước 2. Tìm trung bình và phương sai của dãy số liệu Z1,Z2,…,Zn theo công thức thống kê: * Trung bình mẫu: ˜Z = 1 n ∑n i=1 Zi, * Phương sai mẫu: S2 = 1 n−1 ∑n i=1 Zi − ˜Z 2 Đó là những ước lượng cho trung bình và phương sai lý thuyết của biến ngẫu nhiên Z mà thể hiện là (Z1,Z2,…,Zn). Nếu chỉ căn cứ vào biểu thức (2.13) thì ta tính ra trung bình và phương sai của Z sẽ là: * Trung bình: µ − σ2 2 ∆t 49
    17. 53. Chương 2. Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính * Phương sai: σ2∆t Bước 3. Giải các phương trình sau đây đối với µ và σ : ˜Z = µ − σ2 2 ∆t S2 = σ2 ∆t Ta sẽ được: µ = ˜Z + S2 2 ∆t và σ = S √ ∆ Ví dụ 11. Giá cổ phiếu KSS (Tổng Công Ty Cổ Phần Khoáng Sản NaRi Hamico) lúc đóng cửa trong khoảng thời gian từ ngày 29/02/2012 đến ngày 17/05/2012 được thống kê lại gồm 40 số liệu như sau (tính theo đơn vị một nghìn Việt Nam đồng (1000 vnđ)): 7,8 8,1 8,2 8,1 7,8 8,1 8,4 8,2 8,5 8,9 9,3 9,4 9,5 9,1 8,8 8,4 8,3 8,7 8,5 8,9 8,9 8,6 9.0 9.4 9.8 10,2 11,2 11,7 12,2 12,8 13,4 12,7 13,3 12,7 12,1 11,9 12,4 11,8 11,3 10,8 Bằng các công thức trên, ta tính được: ˜Z = 0,0083442 S = 0,04 Trong bước 3, ta ước lượng µ và σ theo tỉ lệ xích hàng năm: ∆t = 1 365 Vậy các ước lượng của tham số µ và σ của giá cổ phiếu sẽ là: ˆµ = ˜Z + S2 2 ∆t = 3,34 và ˆσ = S √ ∆ = 0,76 Khi đó theo công thức (2.11), giá một cổ phiếu vào bất kỳ một ngày t nào đó sẽ được ước lượng bởi: ˜S1(t) = S1(0).e0,76Bt+3,0512t 50
    18. 56. Chương 2. Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính * Đến ngày đáo hạn , người mua hợp đồng có thể trả cho người bán hợp đồng số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng. * Nếu người bán hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người mua trả, thì người bán phải giao một cổ phần chứng khoán cho người mua vào ngày đáo hạn. Gần như lúc nào cũng vậy, hợp đồng quyền chọn mua sẽ được xếp đặt sao cho người bán phải trả cho người mua khoản chệnh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực thi. Gọi ST là giá của cổ phiếu tại thời điểm t = T trong tương lai và K là giá thực thi vào ngày đáo hạn. Khi đó số tiền mà người mua hợp đồng quyền chọn phải trả là: Số tiền chi trả = max{ST −K,0} = (ST −K)+ 2.2.1.2 Quyền chọn bán Người ta có thể mua một cơ hội được phép bán một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một giá đảm bảo, ngay cả khi mà người ta không sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả. Đó là nội dung của các hợp đồng Quyền Chọn Bán hay gọi tắt là Quyền Chọn Bán. Các điều kiện của quyền chọn bán: * Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này có thể đưa cho người viết một cổ phần chứng khoán, hoặc tương đương, một số tiền theo giá thị trường lúc ấy của một cổ phần chứng khoán. * Nếu người viết hợp đồng nhận cổ phần chứng khoán hoặc số tiền tương đương do người giữ hợp đồng giao cho, thì anh ta phải trả chi phí thực thi cho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng. Thông thường thì với hợp đồng quyền chọn bán này, thì hoặc là hợp đồng không được thực thi, hoặc là người viết hợp đồng sẽ trả cho người giữ hợp đồng một khoản chênh lệch giữa giá thực thi và giá chứng khoán vào ngày đáo hạn. Gọi ST là giá chứng khoán lúc đáo hạn và K là giá thực thi, khi đó ta có thể nói rằng thu hoạch của người giữ quyền bán này là: Thu hoạch quyền bán = max{K −ST ;0} = (K −ST )+ 2.2.2 Giới thiệu sơ lược về định giá quyền chọn 2.2.2.1 Lịch sử vắn tắt của định giá quyền chọn Lý thuyết hiện đại của định giá quyền chọn bắt đầu với các luận án Theorie de la Sp eculation của L. F. Bachelier. Do đó, với mô hình giá cổ phiếu là một chuyển động Brown với độ biến động, Bachelier muốn có lý thuyết giá cho quyền chọn cho các cổ phiếu để so sánh chúng với giá thực tế trên thị trường. Ông đề nghị sử dụng giá trị kỳ vọng của các tài 53

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Quản Trị Bằng Mục Tiêu (Mbo)
  • Phương Pháp Làm Giàu Ít Vốn 2022
  • Giaunhanh.com Học Làm Giàu, Mua Bán Nhanh, Việc Làm Vui, Chat Nhanh Shop
  • Học Tiếng Anh Bằng Phương Pháp Ghi Nhớ Lặp Lại Ngắt Quãng
  • Các Phương Pháp Hạch Toán Hàng Tồn Kho
  • Bạn đang xem bài viết Luận Văn: Phương Pháp Mô Phỏng Monte Carlo, Hay, 9Đ trên website Sansangdethanhcong.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!

  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100
  • CẦM ĐỒ TẠI F88
    15 PHÚT DUYỆT
    NHẬN TIỀN NGAY

    VAY TIỀN NHANH
    LÊN ĐẾN 10 TRIỆU
    CHỈ CẦN CMND

    ×