Top 5 # Phuong Phap Oskar Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 5/2023 # Top Trend

 

Tìm kiếm

Display results as : Số bài Chủ đề

Advanced Search

Chúc lớp trưởng một ngày bình yên, êm ấm bên người mà mình yêu. Nhưng nhớ đừng làm gì quá giới hạn của nó Giởn thôi ko biết lớp trưởng nhà ta có em nào chưa nửa ^^

Thay mặt chủ tịch nước, chủ tịch quốc hội, các bộ trưởng, các ban ngành, 84 triệu người VN, 6 tỷ dân trên thế giới, chúc mừng …Chúc Mừng Sinh Nhật Các Bạn XHHK33

«´¨`•..¤ Nguyễn Thanh Hà 05-05-1990 ¤..•´¨`»

Giáp Thanh Phúc 13-05-1988

(¸.•’´(¸.•’´¤Lương Thị Thiếp 29-05-1989 ¤`’•.¸)`’•.¸)

Huỳnh Đình Tuấn Vũ 01-05-1991

«´¨`•..¤Huỳnh Đình Tuấn Vũ 01-05-1991¤..•´¨`»

CHÀO CÁC BẠN,VÌ LÝ DO RIÊNG THỜI GIAN VỪA QUA VÌ NHIỀU CÔNG VIÊC MINH KO THỂ DÀNH NHIỀU TIME ĐỂ XÂY DỰNG DIÊN ĐÀN ĐC.THỜI GIAN NÀY MONG ĐC GIÚP ĐỞ CỦA CÁC THÀNH VIÊN VỀ MẶT NỘI DUNG ĐỂ XÂY DỰNG DD XÃ HỘI HỌC NGÀY CÀNG LỚN MẠNH.ĐÔI BÓNG XHH MUÔN NĂM CHÚNG TÔI LUÔN CỖ VŨ HẾT MÌNH…TỰ TIN CHIẾN THẮNG.HIHI XÃ HỘI HỌC VÔ ĐỊCH ^^

CHƯƠNG IVPHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TDTT

Mục tiêuChương này giúp SV:– Xác định, mô tả, phân tích được các phương pháp GDTC nói chung và các phương pháp giảng dạy TDTT nói riêng– Có thể thể hiện được nhiều phương pháp giảng dạy thích hợp cho HS ở trường tiểu học.– Biết soạn giáo án chi tiết cho môn TD trong nhà trường tiểu học.– Nâng cao năng lực chuyên môn thông qua việc nghiên cứu và thực hành giảng dạy.Nội dungHoạt động 1: Các phương pháp trực quan và phương pháp sử dụng lời nói (ngôn ngữ) trong giảng dạy TDTT

Khái quát chungPhương pháp là các cách thức sử dụng các công cụ, phương tiện chuyên môn để giải quyết các nhiệm vụ cụ thể trong lĩnh vực hoạt động ấy.GDTC là một trong 5 mặt giáo dục toàn diện, nó có hai mặt cơ bản là: giảng dạy động tác và giáo dục các tố chất vận động cho con người. Hai mặt đó đều là qúa trình thực hiện các BTTC trong các điều kiện tự nhiên, đảm bảo các yêu cầu vệ sinh để giải quyết tốt các nhiệm vụ GDTC.Vì vậy, phương pháp GDTC cũng chính là phương pháp giảng dạy động tác và giáo dục các tố chất thể lực.Phương pháp giảng dạy TDTT (hay phương pháp GDTC) là cách thức sử dụng các phương tiện GDTC nhằm giải quyết các nhiệm vụ GDTC nói chung và giảng dạy TDTT nói riêng.Quá trình giảng dạy TDTT là quá trình hình thành kỹ năng, kỹ xảo vận động và trang bị các kiến thức chuyên môn cho người học, nó đòi hỏi sự tập luyện lặp lại nhiều lần bài tập nhằm xây dựng, củng cố các phản xạ có điều kiện, đó chính là quá trình hoạt động thể lực. Do vậy, một trong những cơ sở hình thành phương pháp giảng dạy TDTT là phương pháp điều chỉnh lượng vận động và quãng nghỉ.1. Các phương pháp trực quan1.1. Phương pháp trực quan trực tiếpa. Bản chất: Là sự cảm thụ trực tiếp của người tập với động tác thông qua làm mẫu của GV hoặc sự “cảm giác qua” của người tập.b. Các hình thức:– Biểu diễn tự nhiên (mang tính nghệ thuật).– Biểu diễn sư phạm (vì mục đích giảng dạy động tác).– Phương pháp “cảm giác qua” nhằm mục đích tạo cảm giác vận động với động tác, được thực hiện trong những điều kiện đặc biệt (có sử dụng máy móc, phương tiện hiện đại) hoặc bằng việc thực hiện động tác có sự giúp sức của người khác.c. Đặc điểm sử dụng:– Ưu tiên với người mới tập luyện, trình độ thấp.– Áp dụng nhiều trong giai đoạn giảng dạy ban đầud. Ưu điểm: -Tạo khái niệm chung về động tác.– Gây hứng thú cho người tập.e. Hạn chế: Khó thể hiện được các chi tiết của kỹ thuật động tác.f. Ví dụ: GV hay HS làm mẫu động tác.1.2. Phương pháp trực quan gián tiếpa. Bản chất: Là sự cảm thụ của các giác quan thông qua các tín hiệu, hình ảnh gián tiếp của động tác.b. Các hình thức:– Sử dụng các giáo cụ trực quan: Tranh ảnh, sơ đồ… – Sử dụng mô hình và sa bàn. – Sử dụng phim ảnh, phim video.– Trình diễn cảm giác lựa chọn.– Phương pháp định hướng.c. Đặc điểm sử dụng:– Ưu tiên với người có trình độ tập luyện cao.– Áp dụng nhiều trong giai đoạn củng cố, hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo vận động.d. Ưu điểm: Thể hiện được các chi tiết của kỹ thuật động tác.e. Hạn chế: Đòi hỏi phái có đủ các thiết bị dạy học.f. Ví dụ: – Xem tranh, ảnh– Xem băng hình– Sử dụng các tín hiệu âm thanh…* Phương pháp làm động tác mẫu (thị phạm)Làm mẫu là phương thức trực quan chủ yếu tác động vào cơ quan thị giác, giúp cho HS tri giác được hình tượng động tác.Những yêu cầu khi làm động tác mẫu– Làm động tác mẫu phải chính xác và hoàn chỉnh.– Khi làm mẫu, GV phải thể hiện đúng giúp HS nắm được những yếu lĩnh cơ bản của động tác HS mới có thể tập làm theo. Khi giảng dạy những động tác mới, phức tạp GV thường phải làm mẫu hai đến ba lần.+ Làm mẫu lần thứ nhất, làm cả động tác hoàn chỉnh với tốc độ bình thường đúng nhịp của động tác, giúp cho HS có khái niệm sơ bộ đối với toàn bộ động tác đó và gây hứng thú học tập cho HS.+ Khi làm động tác mẫu lần

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PEPTITCÁCH 1: VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN, PTHHKhi đốt cháy peptit: CnkH2nk+2-kOk+1Nk CnkH2nk+2-kOk+1Nk + (1,5nk-0,75k)O2 → nkCO2 + (nk+1-0,5k)H2O + 0,5kN2 Rút ra: npeptit = nH2O – nCO2 + nN2. nO2pư = 1,5(nCO2-nN2)npeptit = nH2O – nO2/1,5npeptit = (nCO2-nH2O)/(0,5k-1)CÁCH 2: QUY ĐỔIQuy đổi hỗn hợp peptit về: C2H3ON = a mol CH2 = b mol H2O = c molKhi đó: a = nNaOH = 2nN2 = ∑naminoaxit c = npeptit b = nAla + 3nValSố mắt xích k = a/cNếu đốt cháy: C2H3ON + 2,25O2 → 2CO2 + 1,5H2O a 2,25a 2a 1,5aCH2 + 1,5 O2 → CO2 + H2O b 1,5b b bH2O → H2O c c mCO2 +mH2O = 115a + 62b + 18c BTKL: mpeptit = 57a + 14b + 18c Nếu đốt cháy muối sinh ra sau khi thủy phân peptit thì:nCO2, nN2 và nO2pư không đổi, chỉ nH2O thu được là khác nhau.Muối thu được là: C2H4O2NNa amol và CH2 b molCÁCH 3 TRÙNG NGƯNG HÓADấu hiệu: Các bài toán peptit có tỉ lệ mol Biết tổng số liên kết peptit < mốc Biết số mol các sản phẩm thủy phân (hoàn toàn/không hoàn toàn)1Xn + 1Ym → XnYm + 1H2O Tỉ lệ mol các peptit là 1:1

aXn + bYm → (Xna)(Ymb) + (a+b-1) H2O Tỉ lệ mol các peptit là a:b

Ví dụ 1: Đun nóng 0,16 mol hỗn hợp E gồm hai peptit X (CxHyOzN6) và Y (CnHmO6Nt) cần dùng 600 ml dung dịch NaOH 1,5M chỉ thu được dung dịch chứa a mol muối của glyxin và b mol muối của alanin. Mặt khác đốt cháy 30,73 gam E trong O2 vừa đủ thu được hỗn hợp CO2, H2O và N2, trong đó tổng khối lượng của CO2 và nước là 69,31 gam. Giá trị a : b gần nhất vớiA. 0,730. B. 0,810. C. 0,756. D. 0,962Ví dụ 2: Hỗn hợp M gồm tripeptit X và hexapeptit Y được tạo thành từ các amino axit no mạch hở, có 1 nhóm -COOH và 1 nhóm -NH2. Đốt cháy hoàn toàn 0,1 mol M bằng O2 vừa đủ thu được sản phẩm gồm CO2, H2O có tổng khối lượng là 60,525 gam và 5,04 lít khí N2 (đktc). Nếu cho 0,15 mol M tác dụng hoàn toàn với NaOH (lấy dư 20%), sau phản ứng cô cạn dung dịch thì thu được bao nhiêu gam chất rắn ?Ví dụ 3: Cho m gam hỗn hợp M gồm đipeptit X, tripeptit Y, tetrapeptit Z và pentapeptit T (đều mạch hở) tác dụng với dung dịch NaOH vừa đủ, thu được hỗn hợp Q gồm muối của Gly, Ala và Val. Đốt cháy hoàn toàn Q bằng một lượng oxi vừa đủ, thu lấy toàn bộ khí và hơi đem hấp thụ vào bình đựng nước vôi trong dư, thấy khối lượng bình tăng 13,23 gam và có 0,84 lít khí (đktc) thoát ra. Mặt khác, đốt cháy hoàn toàn m gam M, thu được 4,095 gam H2O. Giá trị của m gần nhất với giá trị nào sau đây ?A. 6,0. B. 6,5. C. 7,0. D. 7,5.Ví dụ 4: X là một peptit có 16 mắt xích được tạo từ các  -amino axit cùng dãy đồng đẳng với glyxin. Để đốt cháy m gam X cần dùng 45,696 lít O2. Nếu cho m gam X tác dụng với lượng vừa đủ dung dịch NaOH rồi cô cạn cẩn thận thì thu được hỗn hợp rắn Y. Đốt cháy Y trong bình chứa 12,5 mol không khí, toàn bộ khí sau phản ứng cháy được ngưng tụ hơi nước thì còn lại 271,936 lít hỗn hợp khí Z. Biết các phản ứng xảy ra hoàn toàn, các khí đo ở đktc, trong không khí có 1/5 thể tích O2 còn lại là N2. Giá trị gần nhất của m là :A. 46 gam B. 41 gam C. 43 gam D. 38 gam Ví dụ 5: Hỗn hợp E gổm 3 chuỗi peptit X, Y, Z đều mạch hở (được tạo nên từ Gly và Lys). Chia hỗn hợp làm hai phần không bằng nhau. Phần 1: có khối

Published on

Giao trinh phuong phap phan tu huu han http://tailieukythuat.net/

1. i PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN  Lý thuyết  Bài tập  Chương trình MATLAB HÀ NỘI 2007 TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA SinhVienKyThuat.Com

2. TRẦN ÍCH THỊNH NGÔ NHƯ KHOA HÀ NỘI 2007 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Pp  Lý thuyết  Bài tập  Chương trình MATLAB SinhVienKyThuat.Com

3. GS, TS Trần Ích Thịnh TS. Ngô Như Khoa PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB HÀ NỘI 2007 SinhVienKyThuat.Com

4. i MỞ ĐẦU Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ, Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu hàn v.v.: – Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng, – Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau, – Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH. Giáo trình biên soạn gồm 13 chương. Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương 4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn. Phần áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được giới thiệu trong chương 12. Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán động lực học một số kết cấu. SinhVienKyThuat.Com

6. iii MỤC LỤC Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1. Giới thiệu chung……………………………………………………………………..1 2. Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn…………………………………………………….1 3. Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn ……………………………………2 3.1. Nút hình học………………………………………………………………………………….. 2 3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử…………………………………………………… 2 4. Các dạng phần tử hữu hạn ………………………………………………………..3 5. Phần tử quy chiếu, phần tử thực…………………………………………………4 6. Một số dạng phần tử quy chiếu ………………………………………………….5 7. Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất ………………………………………..6 8. Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần………………………………….7 9. Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn………………………8 Chương 2 ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 1. Đại số ma trận ………………………………………………………………………11 1.1. Véctơ …………………………………………………………………………………………. 11 1.2. Ma trận đơn vị……………………………………………………………………………… 12 1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận………………………………………………………… 12 1.4. Nhân ma trận với hằng số ………………………………………………………………. 12 1.5. Nhân hai ma trận………………………………………………………………………….. 13 1.6. Chuyển vị ma trận ………………………………………………………………………… 13 1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận…………………………………………………………. 14 1.8. Định thức của ma trận …………………………………………………………………… 14 1.9. Nghịch đảo ma trận ………………………………………………………………………. 15 1.10. Ma trận đường chéo…………………………………………………………………… 16 1.11. Ma trận đối xứng ………………………………………………………………………. 16 1.12. Ma trận tam giác……………………………………………………………………….. 16 2. Phép khử Gauss…………………………………………………………………….17 2.1. Mô tả………………………………………………………………………………………….. 17 2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát……………………………………………………….. 18 Chương 3 THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 1. Các ví dụ ……………………………………………………………………………..22 1.1. Ví dụ 1 ……………………………………………………………………………………….. 22 1.2. Ví dụ 2 ……………………………………………………………………………………….. 24 2. Thuật toán ghép K và F ………………………………………………………….28 SinhVienKyThuat.Com

7. iv 2.1. Nguyên tắc chung…………………………………………………………………………. 28 2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: ………………………………………………………….. 29 Chương 4 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 1. Mở đầu………………………………………………………………………………..31 2. Mô hình phần tử hữu hạn………………………………………………………..31 3. Các hệ trục toạ độ và hàm dạng ……………………………………………….32 4. Thế năng toàn phần ……………………………………………………………….35 5. Ma trận độ cứng phần tử…………………………………………………………36 6. Qui đổi lực về nút………………………………………………………………….37 7. Điều kiện biên, hệ phương trình phần tử hữu hạn………………………..38 8. Ví dụ …………………………………………………………………………………..40 9. Chương trình tính kết cấu một chiều – 1D …………………………………46 10. Bài tập…………………………………………………………………………………50 Chương 5 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 1. Mở đầu………………………………………………………………………………..52 2. Hệ toạ độ địa phương, hệ toạ độ chung ……………………………………..52 3. Ma trận độ cứng phần tử…………………………………………………………54 4. Ứng suất………………………………………………………………………………55 5. Ví dụ …………………………………………………………………………………..55 6. Chương trình tính hệ thanh phẳng…………………………………………….57 7. Bài tập…………………………………………………………………………………67 Chương 6 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU 1. Mở đầu………………………………………………………………………………..71 1.1. Trường hợp ứng suất phẳng……………………………………………………………. 72 1.2. Trường hợp biến dạng phẳng………………………………………………………….. 72 2. Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác…………………………………73 3. Biểu diễn đẳng tham số…………………………………………………………..76 4. Thế năng ……………………………………………………………………………..79 5. Ma trận độ cứng của phần tử tam giác ………………………………………79 6. Qui đổi lực về nút………………………………………………………………….80 7. Ví dụ …………………………………………………………………………………..83 8. Chương trình tính tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng………………….88 9. Bài tập…………………………………………………………………………………99 SinhVienKyThuat.Com

8. v Chương 7 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG 1. Mở đầu………………………………………………………………………………103 2. Mô tả đối xứng trục……………………………………………………………..103 3. Phần tử tam giác………………………………………………………………….104 4. Chương trình tính kết cấu đối xứng trục…………………………………..114 5. Bài tập……………………………………………………………………………….122 Chương 8 PHẦN TỬ TỨ GIÁC 1. Mở đầu………………………………………………………………………………126 2. Phần tử tứ giác…………………………………………………………………….126 3. Hàm dạng…………………………………………………………………………..127 4. Ma trận độ cứng của phần tử………………………………………………….129 5. Qui đổi lực về nút………………………………………………………………..131 6. Tích phân số……………………………………………………………………….132 7. Tính ứng suất………………………………………………………………………136 8. Ví dụ …………………………………………………………………………………136 9. Chương trình ………………………………………………………………………138 10. Bài tập……………………………………………………………………………….150 Chương 9 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG 1. Giới thiệu …………………………………………………………………………..152 2. Thế năng ……………………………………………………………………………153 3. Hàm dạng Hermite ………………………………………………………………153 4. Ma trận độ cứng của phần tử dầm…………………………………………..155 5. Quy đổi lực nút……………………………………………………………………157 6. Tính mômen uốn và lực cắt……………………………………………………158 7. Khung phẳng………………………………………………………………………159 8. Ví dụ …………………………………………………………………………………161 9. Chương trình tính dầm chịu uốn …………………………………………….166 10. Bài tập……………………………………………………………………………….175 Chương 10 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 1. Giới thiệu …………………………………………………………………………..178 2. Bài toán dẫn nhiệt một chiều………………………………………………….178 2.1. Mô tả bài toán ……………………………………………………………………………. 178 SinhVienKyThuat.Com

9. vi 2.2. Phần tử một chiều……………………………………………………………………….. 178 2.3. Ví dụ………………………………………………………………………………………… 180 3. Bài toán dẫn nhiệt hai chiều…………………………………………………..182 3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều……………………………. 182 3.2. Điều kiện biên……………………………………………………………………………. 183 3.3. Phần tử tam giác…………………………………………………………………………. 184 3.4. Xây dựng phiếm hàm ………………………………………………………………….. 185 3.5. Ví dụ………………………………………………………………………………………… 189 4. Các chương trình tính bài toán dẫn nhiệt………………………………….192 4.1. Ví dụ 10.1 …………………………………………………………………………………. 192 4.2. Ví dụ 10.2 …………………………………………………………………………………. 197 5. Bài tập……………………………………………………………………………….203 Chương 11 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM – VỎ CHỊU UỐN 1. Giới thiệu …………………………………………………………………………..206 2. Lý thuyết tấm Kirchhof ………………………………………………………..206 3. Phần tử tấm Kirchhof chịu uốn ………………………………………………209 4. Phần tử tấm Mindlin chịu uốn………………………………………………..215 5. Phần tử vỏ ………………………………………………………………………….218 6. Chương trình tính tấm chịu uốn ……………………………………………..221 7. Bài tập……………………………………………………………………………….231 Chương 12 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE 1. Giới thiệu …………………………………………………………………………..234 2. Phân loại vật liệu Composite …………………………………………………234 3. Mô tả PTHH bài toán trong trạng thái ứng suất phẳng ……………….236 3.1. Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng ……………………………………. 236 3.2. Ví dụ………………………………………………………………………………………… 238 4. Bài toán uốn tấm Composite lớp theo lý thuyết Mindlin …………….241 4.1. Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin ……….. 241 4.2. Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn ………………….. 246 5. Chương trình tính tấm Composite lớp chịu uốn…………………………250 6. Bài tập……………………………………………………………………………….267 Chương 13 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU 1. Giới thiệu …………………………………………………………………………..268 SinhVienKyThuat.Com

10. vii 2. Mô tả bài toán……………………………………………………………………..268 3. Vật rắn có khối lượng phân bố……………………………………………….270 4. Ma trận khối lượng của phần tử có khối lượng phân bố………………272 4.1. Phần tử một chiều……………………………………………………………………….. 272 4.2. Phần tử trong hệ thanh phẳng………………………………………………………… 272 4.3. Phần tử tam giác…………………………………………………………………………. 273 4.4. Phần tử tam giác đối xứng trục ……………………………………………………… 274 4.5. Phần tử tứ giác …………………………………………………………………………… 275 4.6. Phần tử dầm ………………………………………………………………………………. 275 4.7. Phần tử khung ……………………………………………………………………………. 276 5. Ví dụ …………………………………………………………………………………276 6. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm và khung ………………277 6.1. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm …………………………….. 277 6.2. Chương trình tính tần số dao động tự do của khung ………………………….. 282 7. Bài tập……………………………………………………………………………….287 TÀI LIỆU THAM KHẢO SinhVienKyThuat.Com

11. 1 Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1. GIỚI THIỆU CHUNG Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao. 7.1. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng. Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS, TITUS, MODULEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v. Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp. 2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve . Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau: SinhVienKyThuat.Com

14. 4 5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là vr . Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực ve nhờ một phép biến đổi hình học re. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2). Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau: a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm  trong phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của vr ứng với một và chỉ một điểm của ve và ngược lại. Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba vr v3 v2 v1 1,00,0 y  x (1) (2) (3) (4) (5)  r3 r2 r1 0,1 Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác SinhVienKyThuat.Com

15. 5 b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng. Chú ý: – Một phần tử qui chiếu vr được biến đổi thành tất cả các phần tử thực ve cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ. – Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản. –  (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử. 6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU Phần tử qui chiếu một chiều Phần tử qui chiếu hai chiều Phần tử qui chiếu ba chiều Phần tử tứ diện  Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba vr 10,0 1  vr 10,0 1  vr 10,0 1    1 /2 ,1 /2 1 /2 1 /2 1 /3 ,2 /3 2 /3 ,1 /3 2 /3 1 /3 1 /3 2 /3 0 1-1  0 1-1  -1 /2 1-1 1 /20 Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba SinhVienKyThuat.Com

16. 6 Phần tử sáu mặt 7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột: – Lực thể tích f : f = f[ fx, fy , fz]T – Lực diện tích T : T = T[ Tx, Ty , Tz]T – Lực tập trung Pi: Pi= Pi [ Px, Py , Pz]T vr  Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba 0,1,1  vr   1,1,0  0,1,1 1,1,0  vr   0,1,1 1,1,0  Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba vr 0,1,00,0,0 0,0,1  vr 0,1,0 0,0,1 vr   1,0,0  1,0,0    0,1,0 1,0,0 0,0,1 SinhVienKyThuat.Com

17. 7 Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi: u = [u, v, w] T (1.1) Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:  = [x , y, z, yz, xz, xy] T (1.2) Trường hợp biến dạng bé: T x v y u x w z u y w z v z w y v x u                             (1.3) Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:  = [x , y, z, yz, xz, xy] T (1.4) Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến dạng:  = D  (1.5) Trong đó:                                       5000000 0500000 0050000 0001 0001 0001 211 , , , E D E là môđun đàn hồi,  là hệ số Poisson của vật liệu. 8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN Thế năng toàn phần  của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:  = U + W (1.6) Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích được xác định bởi:  T 2 1 Do đó năng lượng biến dạng toàn phần: SinhVienKyThuat.Com

18. 8  V T dvU  2 1 (1.7) Công của ngoại lực được xác định bởi:    n i i T i S T V T PuTdSuFdVuW 1 (1.8) Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:    n i i T i S T V T V T PuTdSudVfudV 12 1  (1.9) Trong đó: u là véctơ chuyển vị và Pi là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là ui Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định. 9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau: Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt…), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên); Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần tử; Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ (ghép nối phần tử); Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma trận độ cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F; Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung Q; Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ; SinhVienKyThuat.Com

19. 9 Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng theo yêu cầu. Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3); Tính toán ma trận độ cứng phần tử k Tính toán véctơ lực nút phần tử f Giải hệ phương trình KQ = F (Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q) Đọc dữ liệu đầu vào – Các thông số cơ học của vật liệu – Các thông số hình học của kết cấu – Các thông số điều khiển lưới – Tải trọng tác dụng – Thông tin ghép nối các phần tử – Điều kiện biên Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F Áp đặt điều kiện biên (Biến đổi các ma trận K và vec tơ F) Tính toán các đại lượng khác (Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v) In kết quả – In các kết quả mong muốn – Vẽ các biểu đồ, đồ thị Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH SinhVienKyThuat.Com

20. 10SinhVienKyThuat.Com

22. 12 và véctơ cột (3 1):            34 2 11 c 1.2. Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, ví dụ:            100 010 001 I 1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m n). Tổng của chúng là 1 ma trận C = A + B và được định nghĩa như sau: cij = aij + bij (2.3) Ví dụ:                        34 75 21 58 15 23 phép trừ được định nghĩa tương tự. 1.4. Nhân ma trận với hằng số Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau: cA=[caij] (2.4) Ví dụ:               100500 200300 15 23 102 SinhVienKyThuat.Com

23. 13 1.5. Nhân hai ma trận Tích của ma trận A kích thước (m n) với ma trận B kích thước (n p) là 1 ma trận C kích thước (m p), được định nghĩa như sau: A  B = C (2.5) (m n) (n p) (m p) trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (cij) được tính theo biểu thức:   n k kjikij bac 1 (2.6) Ví dụ:                        3638 7054 46 52 54 413 582 Chú ý: – Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận AB là số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. – Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận AB và BA, thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là AB  BA. 1.6. Chuyển vị ma trận Chuyển vị của ma trận A = [aij] kích thước (m n) là 1 ma trận, ký hiệu là AT có kích thước là (n m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận AT . Khi đó, (AT )T = A. Ví dụ:            46 52 54 A thì:        455 624T A Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phần theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là: (ABC)T =CT BT  AT . (2.7) SinhVienKyThuat.Com

24. 14 1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng số, chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:               yxx yx xyxyx A 46 2 52 2 Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay tích phân. Phép đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản là lấy đạo hàm (hay lấy tích phân) đối với mỗi phần tử của ma trận:        dx xda xA dx d ij )( )( (2.8)    dxdyaAdxdy ij (2.9) Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ phương trình PTHH trong các chương sau. Xét ma trận vuông A, kích thước (n n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x1 x2 … xn}T chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến xp sẽ là: p p aAx dx d )( (2.10) trong đó, ap là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A. 1.8. Định thức của ma trận Cho ma trận vuông A = [aij], kích thước (n n). Định thức của ma trận A được định nghĩa như sau:         n j ijij ji nn n Aa AaAaAaA 1 11 1 12121111 )det(1 )det(1)det()det()det(  (2.11) trong đó, Aij là ma trận kích thước (n-1 n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j của ma trận A. Ví dụ: SinhVienKyThuat.Com

25. 15                           nnnn n n nnnn n n aaa aaa aaa A aaa aaa aaa A         32 33332 22322 11 21 22221 11211 Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma trận vuông có kích thước (n n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1 n-1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1 1) có: det(apq) = apq (2.12) 1.9. Nghịch đảo ma trận Cho ma trận vuông A, nếu det(A)  0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu là A-1 . Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau: A-1 A = AA-1 = I (2.13) Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu det(A)  0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A được xác định như sau: A adjA A det 1  (2.14) Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử   )det(1 ji ji ij Aa   và Aji là ma trận thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i. Ví dụ: Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2 2) là:                  1121 1222 1 2221 12111 det 1 aa aa Aaa aa A SinhVienKyThuat.Com

27. 17 2. PHÉP KHỬ GAUSS Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như sau: Ax = b trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n n). Nếu detA  0, thì ta có thể thực hiện phép biến đổi phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với A-1 và nhận được nghiệm: x = A-1 b. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất lớn và các phần tử của A thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp phải sai số do việc làm tròn trong các phép tính. Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất hữu ích cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính. 2.1. Mô tả Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh hoạ sau đây; sau đó tìm hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát. Xét hệ phương trình: 152 321  xxx (1) 2352 321  xxx (2) 415 321  xxx (3) Bước 1: bằng các phép biến đổi tương đương để khử x1 trong các phương trình (2) và (3), ta được hệ: 152 321  xxx (1) 470 321  xxx (21 ) 5200 321  xxx (31 ) Bước 2: khử x2 trong phương trình (31 ), ta được hệ: 152 321  xxx (1) 470 321  xxx (21 ) 92700 321  xxx (32 ) Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận tam giác trên. Từ phương trình cuối cùng (32 ), ta tìm được nghiệm x3, lần lượt thế các nghiệm tìm được vào phương trình SinhVienKyThuat.Com

28. 18 trên nó, (21 ) và (1). Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm như sau: 3 8 ; 3 5 ; 3 1 123  xxx . Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các hệ số là ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp thế ngược. Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:                                   92700 4710 1521 52010 4710 1521 41511 2352 1521 bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm: 3 8 ; 3 5 ; 3 1 123  xxx 2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các bước thực hiện đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau:                                                                    n i n i nnnjnnn inijiii nj nj nj b b b b b x x x x x aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa            3 2 1 3 2 1 321 321 33333231 22232221 11131211 (2.16) Để thực hiện phương pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động đến các ma trận hệ số A và ma trận các số hạng tự do b như sau: SinhVienKyThuat.Com

30. 20                                                                       1 , 1 , 1 1, 1 , 1 , 1 1, 1 ,1 1 ,1 1 1,1 2 3 2 3 2 33 1 2 1 2 1 23 1 22 11131211 000 000 000 00 0 k nn k jn k kn k ni k ji k ki k nk k jk k kk nj nj nj aaa aaa aaa aaa aaaa aaaaa                                                     1 1 1 1 3 3 1 2 1 k n k i k k b b b b b b    (2.20) Ở bước này, các phần tử trong miền đánh dấu được tác động nhờ phép biến đổi                                       nkjib a a bb nkjia a a aa k kk kk k ikk i k i k kjk kk k ikk ij k ij ,…,1,; ,…,1,; 1 1 1 1 1 1 1 1 (2.21) Cuối cùng, sau n-1 bước như trên, chúng ta nhận được hệ (2.16) dưới dạng:                                                               )1( )3( 4 )2( 3 )1( 2 1 4 3 2 1 )1( )3( 4 )3( 44 )2( 3 )2( 34 )2( 33 )1( 2 )1( 24 )1( 23 )1( 22 114131211 0 n nn n nn n n n n b b b b b x x x x x a aa aaa aaaa aaaaa      (2.22) Từ hệ (2.22) này, bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên ta nhận được các nghiệm của hệ phương trình (2.16) như sau (ở đây, để tiện theo dõi, chúng ta bỏ qua ký hiệu chỉ số trên trong các hệ số của ma trận A và b): 121 1 ,,n,ni; a xab x,; a b x ii n ij jiji i nn n n      (2.23) SinhVienKyThuat.Com

31. 21SinhVienKyThuat.Com

33. 23            521 263 137 1 k ;            432 371 218 2 k ;            501 064 149 3 k Lời giải 1. Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim đồng hồ) Bậc tự do Phần tử 1 2 3 1 1 2 4 2 4 2 5 3 2 3 5 2. Xét từng phần tử Với phần tử 1, các dòng và cột được nhận dạng như sau: 4 2 1 521 263 137 421 1           k Ma trận này được cộng vào ma trận độ cứng chung và ta sẽ được:        5 4 3 2 1 00000 05021 00000 02063 01037 54321                     K Ma trận độ cứng của phần tử 2 được gán số bởi: 5 2 4 432 371 218 524 2           k Các số hạng của ma trận k2 được cộng thêm vào ma trận chung, cho ta SinhVienKyThuat.Com

34. 24        5 4 3 2 1 42030 2850121 00000 3120763 01037 54321                       K Với phần tử 3: 5 3 2 501 064 149 532 3           k Các số hạng của ma trận k3 được cộng tiếp vào ma trận chung ở trên, cho ta        5 4 3 2 1 54200130 213031 000640 13349133 01037 54321                        K Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung được tiến hành hoàn toàn tương tự. 1.2. Ví dụ 2 Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử có 3 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do (Hình 3.2). Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K và véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1 , k4 , f1 và f4 cho trước như sau: SinhVienKyThuat.Com

35. 25                            2428572 2164316 8431694 5363097 7199293 2647322 1 k ;                      5 7 1 4 6 3 1 f                            2874755 7272873 4225768 7873026 5742191 5386123 4 k ;                      5 4 2 6 7 9 4 f Các nút của phần tử 1 là: (1, 2, 5). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:    TT kkjjii qqqqqqqqqqqq 10943212122121212  Các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử 1 được gán các số ứng với bậc tự do tương ứng của nó và các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung. 10 9 4 3 2 1 2428572 2164316 8431694 5363097 7199293 2647322 1094321 1                           k i 1 2 3 1 4 5 6 21 Hình 3.2 2 SinhVienKyThuat.Com

36. 26               12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 000000000000 000000000000 0024200008572 0021600004316 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 0084000031694 0053000063097 0071000099293 00026000047322 121110987654321                                               K Tiến hành tương tự đối với ma trận độ cứng của phần tử 4. Các nút của phần tử 4 là: (5, 2, 6). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:    TT kkjjii qqqqqqqqqqqq 1211431092122121212  12 11 4 3 10 9 2874755 7272873 4225768 7873026 5742191 5386123 121143109 4                           k Các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung, ta nhận được kết quả như sau: SinhVienKyThuat.Com

37. 27               12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2875500004700 7277300002800 57433000012772 53339000012916 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 4214120000561394 78790000166097 0071000099293 0026000047322 121110987654321                                                 K Véctơ lực nút của các phần tử 1 và 4 cũng được cộng vào véctơ lực nút chung theo cách tương tự: 10 9 4 3 2 1 5 7 1 4 6 3 1                     f   12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 7 0 0 0 0 1 4 6 3                                           F ; 12 11 4 3 10 9 5 4 2 6 7 9 4                     f   12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 12 16 0 0 0 0 3 10 6 3                                           F SinhVienKyThuat.Com

38. 28 2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F 2.1. Nguyên tắc chung Qua hai ví dụ trên ta thấy ma trận độ cứng chung K chính là tổng của các ma trận mở rộng [ke ] của các phần tử. Véctơ lực chung F cũng chính là tổng của các véctơ lực mở rộng {fe } của các phần tử:      e e e e fFkK ; (3.1) Để chuẩn hoá các bước ghép nối, ta xây dựng bảng định vị index cho mỗi phần tử. Bảng index sẽ cho biết vị trí của mỗi số hạng của qn trong Qn. Kích thước của bảng index là (noe  edof ), với edof là ký hiệu cho số bậc tự do của phần tử và noe là ký hiệu cho tổng số phần tử. Mỗi nút có một bậc tự do Trở lại ví dụ 3.1, bảng index chính là bảng ghép nối phần tử ở trên. Khi ấy:  T QQQQQQ 54321 – Với phần tử 1 (e =1)    421:),1( 421   index QQQq T – Với phần tử 2 (e =2)    524:),2( 524   index QQQq T – Với phần tử 3 (e =3)    532:),3( 532   index QQQq T Chú ý: ký hiệu (:) trong index(e,:) chỉ các phần tử thuộc hàng e của index. Mỗi nút có hai bậc tự do Trở lại ví dụ 3.2 đã xét ở trên, bảng index là: Bậc tự do Phần tử 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 9 10 … … … … 4 9 10 3 4 11 12 SinhVienKyThuat.Com

39. 29 Khi ấy:  T QQQQQQQQQQQQQ 121110987654321 – Với phần tử số 1    1094321:),1( 1094321   index QQQQQQq T – Với phần tử số 4    121143109:),4( 121143109   index QQQQQQq T Với sự giúp đỡ của bảng index, mỗi số hạng kij của ma trận ke được cộng vào IJK của [K] sao cho: I = index(e,i), với i = 1.. sdof J = index(e,j), với j = 1.. sdof hoặc: ji e jeieIJ kKK  ),(index),(index (3.2) Tương tự, mỗi số hạng fi của {fe }được chuyển sang FI của F sao cho: i e ieI fFK  ),(index (3.3) 2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof  sdof) và véctơ cột {F} có kích thước (sdof  1), với các số hạng bằng không. Trong đó, sdof là ký hiệu cho tổng số bậc tự do của các nút trong toàn hệ. Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng kij của của ma trận phần tử ke vào số hạng IJK của ma trận [K]: ),(),,(;:1,; jeindexJieindexIedofjikKK ji e IJIJ  (3.4) Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng fi của của véctơ lực phần tử f vào số hạng FI của véctơ lực chung F: ),(;:1; ieindexIedofifFF i e II  (3.5) Sơ đồ thuật toán được mô tả như Hình 3.3 sau: SinhVienKyThuat.Com

40. 30 K=zero(sdof,sodf); F=zero(sdof,1); e =1; i = 1; j = 1;      jikieindexieindexKieindexieindexK e ,),(),,(),(),,(  j  edof j = j + 1; i = i+1; i  edof      ifieindexFieindexF e  ),(),( e = e +1; e  noe … … T T T F F F Hình 3.3. Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử SinhVienKyThuat.Com

41. 31 Chương 4 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 1. MỞ ĐẦU Để giải bài toán một chiều (1D) bằng phương pháp phần tử hữu hạn, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần và các quan hệ: quan hệ ứng suất-biến dạng, quan hệ biến dạng-chuyển vị. Với bài toán hai chiều (2D) và ba chiều (3D), cách tiếp cận cũng tương tự. Trong bài toán một chiều, các đại lượng: chuyển vị, biến dạng, ứng suất chỉ phụ thuộc vào biến x. Ta biểu diễn chúng như sau:  ;xuu   ;x   x  (4.1) Quan hệ giữa ứng suất với biến dạng, biến dạng với chuyển vị: dx du E   ; (4.2) Với bài toán một chiều, vi phân thể tích dv được viết dưới dạng: dv=Adx (4.2) trong đó, A là diện tích mặt cắt ngang. 2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN Có thể chia thanh ra nhiều phần tử, mỗi phần tử có tiết diện ngang không đổi (hoặc thay đổi). Chẳng hạn, ta chia thanh ra 5 phần tử với các nút được đánh số từ 1 đến 6, các chỉ số nút này là chỉ số nút toàn cục (Hình 4.1a); mỗi phần tử có hai nút 1 và 2, các chỉ số nút này là chỉ số nút cục bộ (Hình 4.1b). Trong bài toán một chiều, mỗi nút chỉ có một chuyển vị theo phương x . Vì vậy mỗi nút chỉ có một bậc tự do, n nút có n bậc tự do. Chuyển vị tổng thể được kí hiệu là Qi ; i = 1, n; chuyển vị địa phương của mỗi phần tử được ký hiệu là qj; j = 1, 2 Véctơ cột  Q Qi T  được gọi là véctơ chuyển vị chung (tổng thể). Lực nút được kí hiệu là Fi ; i = 1, n. Véctơ cột  F Fi T  được gọi là véctơ lực nút chung (tổng thể). SinhVienKyThuat.Com

42. 32 Để ghép nối các phần tử với nhau, ta sử dụng bảng ghép nối các phần tử như sau: Bảng 3.1. Bảng ghép nối các phần tử Phần tử Nút 1(đầu) 2(cuối) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG Khảo sát một phần tử e như Hình 4.2. Theo sơ đồ đánh số nút cục bộ: Nút thứ nhất là 1 Nút thứ hai là 2 e1 2 x2 x x1   = -1  = 1 (b)(a) Hình 4.2. Phần tử trong hệ toạ độ x và  1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 e1 2 q1 q2 Hình 4.1a. Chỉ số toàn cục Hình 4.1b. Chỉ số cục bộ Chỉ số địa phương Chỉ số chung SinhVienKyThuat.Com

43. 33 Theo ký hiệu, x = x1 là tọa độ của nút thứ nhất; x = x2 là tọa độ của nút thứ hai. Ta định nghĩa hệ tọa độ qui chiếu (hay chuẩn hoá) được ký hiệu là  như sau:   1 2 1 12    xx xx        1 1 2 1   xx xx (4.3) Vậy:    21 :1:1 xxx Ta sử dụng hệ tọa độ địa phương này để xác định hàm dạng với mục đích nội suy ra trường chuyển vị trong các phần tử. Bây giờ trường chuyển vị cần tìm cho một phần tử sẽ được nội suy bằng một phép biến đổi tuyến tính (Hình 4.3). Để thực hiện được phép nội suy này, cần đưa vào một hàm dạng tuyến tính:     2 1 ; 2 1 21         NN (4.4) Các hàm dạng được minh hoạ trên Hình 4.4. Đồ thị của hàm dạng N1 trên Hình 4.4a được suy ra từ phương trình (4.4): N1 = 1 tại = -1 và N1 = 0 tại  = 1. Tương tự ta có đồ thị của N2. 1 N1 Hình 4.4. (a), (b). Hàm dạng N1, N2; (c). Nội suy tuyến tính -1 0 1  1 N2  u 1 2  2 1 1  N 2 1 2  N q1 q2 u=N1q1+N2q2 211 2 (a) (b) (c) -1 0 1 e1 2 u2u1 Hình 4.3. Nội suy tuyến tính trường chuyển vị của một phần tử q2 q1 e1 2 SinhVienKyThuat.Com

44. 34 Một khi các hàm dạng được xác định, trường chuyển vị của phần tử sẽ được biểu diễn qua các chuyển vị nút q1 và q2 như sau: 2211 qNqNu  (4.5) Hoặc dưới dạng ma trận: u = Nq (4.6) Trong đó:  N N N 1 2,  T qqq 11 (4.7) Trong biểu thức trên, q là véctơ chuyển vị của phần tử. Từ (4.5), ta thấy u = q1 tạinút 1; u = q2 tại nút 2 và u biến thiên tuyến tính trong phần tử (Hình 4.4c). Ta đã biết: 1 2 1 1 0 1 1 qu N N xx         2 2 1 2 1 0 1 qu N N xx         Bây giờ ta nội suy tọa độ x nhờ các hàm dạng 21 , NN 2211 xNxNx  (4.8) So sánh:      2211 2211 qNqNu xNxNx ta thấy chuyển vị u và toạ độ x được nội suy trên cùng phần tử nhờ cùng các hàm dạng N1 và N2. Trong trường hợp này, ta có phép biểu diễn đẳng tham số. Chú ý: Các hàm dạng cần thoả mãn: 1) Đạo hàm bậc nhất phải hữu hạn, 2) Chuyển vị phải liên tục trên các biên của phần tử. Mặt khác: dx d d du dx du     (4.9) mà: 12 2 xxdx d    (4.10) SinhVienKyThuat.Com

45. 35 suy ra 212211 2 1 2 1 qqqNqNu      (4.11) 2 21 qq d du    (4.12)  21 12 1 qq xx    (4.13) do đó:  11 1 ; 12    xx BBq (4.14) Trong đó ma trận B được gọi là ma trận biến dạng-chuyển vị của phần tử. Theo định luật Hooke, ta có biểu thức tính ứng suất:  = EBq (4.15) Chú ý: B, ,  là các đại lượng hằng số; Các biểu thức u = Nq;  = Bq;  = EBq mô tả chuyển vị, biến dạng và ứng suất qua các giá trị chuyển vị nút của phần tử. Ta sẽ thế các biểu thức này vào biểu thức thế năng của thanh để thiết lập ma trận độ cứng và ma trận lực nút của phần tử. 4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN Áp dụng công thức (1.3) – Chương 1, ta tính được thế năng toàn phần của thanh:    n i i T i L T L T L T PuTdxuAdxfuxdA 12 1  (4.16) Khi vật thể được chia ra làm nhiều phần tử hữu hạn, thì    n i ii e e T e e T e e T PQTdxuAdxfuxdA 12 1  (4.17) SinhVienKyThuat.Com

46. 36 5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ Gọi: xdAU e T e   2 1 là thế năng biến dạng của phần tử, ta có: xdAqBEBqU e ee TT e  2 1 qxdABEBqU e ee TT e        2 1 (4.18) Chú ý rằng: Ae, Ee và B là các đại lượng hằng số, và  d l dxd xx dx e 22 12    , với: 12;11 xxle   Khi ấy, ta có biểu thức của năng lượng biến dạng của phần tử: qdBBE l AqU T e e e T e         1 1 22 1  với:  11 1 12    xx B ta có: q l EA qU e eeT e          11 11 2 1 Gọi:          11 11 e eee l EA k (4.19) là ma trận độ cứng của phần tử . Khi đó, biểu thức thế năng (4.18) được biểu diễn ở dạng thu gọn như sau: qkqU eT e 2 1  (4.20) SinhVienKyThuat.Com

47. 37 6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT Khi vật thể đã được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn với các nút xác định, ta phải qui đổi các loại lực tác dụng về nút. Lần lượt xét từng thành phần biểu diễn công của ngoại lực trong biểu thức thế năng  (4.17), ta có: – Công do lực khối:               e e e e T e T dxNfA dxNfA qAdxfu 2 1 mà:                  22 1 2 22 1 2 1 1 2 1 1 1 ee e ee e l d l dxN l d l dxN     eTeeT e T fq lfA qAdxfu          1 1 2 Với:        1 1 2 eee lfA f (4.21) là lực thể tích quy đổi về nút của phần tử – Công do lực diện tích:   eT e eT T e T Tq dxNT dxNT qdxTqNqNdxTu                2 1 2211 Với:        1 1 2 ee lT T (4.22) được gọi là lực diện tích qui đổi về nút của phần tử Cuối cùng, biểu thức  được viết gọn dưới dạng SinhVienKyThuat.Com

49. 39 Với một kết cấu có n bậc tự do, ta có  T nQQQQ 21  T nFFFF 21 Ma trận độ cứng tổng thể có dạng:              nnnn n n KKK KKK KKK K     21 22221 11211 (4.24) K là ma trận đối xứng Ta viết biểu thức của thế năng  dưới dạng khai triển như sau:  nn nnnnnnnn nn nn FQFQFQ QKQQKQQKQ QKQQKQQKQ QKQQKQQKQ                         2211 2211 2222221212 1121211111 2 1 (4.25) Thay Q1 = a1 vào phương trình trên, ta được:  nn nnnnnnnn nn nn FQFQFa QKQQKQaKQ QKQQKQaKQ QKaQKaaKa                         2211 2211 2222221212 1121211111 2 1 (4.26) Chú ý rằng chúng ta đã khử chuyển vị Q1 trong biểu thức của thế năng ở trên. Áp dụng điều kiện cực tiểu thế năng: ni Qi ,…,2;0    (4.27) ta thu được:           113322 13133333232 12122323222 aKFQKQKQK aKFQKQKQK aKFQKQKQK nnnnnnn nn nn     (4.28) SinhVienKyThuat.Com

50. 40 Khi ấy, hệ phương trình PTHH được biểu diễn như sau:                                             11 1313 1212 3 2 32 33332 22322 aKF aKF aKF Q Q Q KKK KKK KKK nnnnnnn n n      (4.29) Nhận xét: Ma trận độ cứng (n-1)(n-1) ở trên được nhận từ ma trận độ cứng (nn) ban đầu (4.23) bằng cách bỏ đi hàng thứ nhất và cột thứ nhất (vì Q1 = a1). Hệ phương trình (4.28) được viết dưới dạng cô đọng: KQ = F (4.30) Ma trận K trong (4.30) là ma trận không kỳ dị còn ma trận K ban đầu (4.24) là ma trận kỳ dị (det K=0). Áp dụng phương pháp khử Gauss (xem chương 2) để giải hệ phương trình (4.30), ta sẽ tìm được chuyển vị Q; Nhờ bảng thông tin ghép nối phần tử đã giới thiệu ở phần đầu, ta sẽ xác định được chuyển vị nút q của phần tử từ chuyển vị chung Q đã tìm được ở trên. Áp dụng công thức EBq ta tìm được ứng suất; Để xác định phản lực liên kết R1, ta viết phương trình cân bằng cho nút 1: 111212111 RFQKQKQK nn   (4.31) Trong đó Qi đã được xác định, F1 là lực tác dụng tại nơi đặt liên kết cũng đã biết. 8. VÍ DỤ Ví dụ 4.1. Cho một trục bậc chịu tác dụng của lực P = 10 N (hình 4.5a). Biết tiết diện các đoạn: A1=20 mm2 ; A2 = 10 mm2 ; chiều dài các đoạn l1 = l2 = 100 mm; và môđun đàn hồi: E1 = E2 = 200 gPa. Hãy xác định chuyển vị tại B và C; biến dạng, ứng suất trong các đoạn trục AB, BC. SinhVienKyThuat.Com

51. 41 Lời giải Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, Hình 4.5b. 1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau: Phần tử Nút i Nút j 1 1 2 2 2 3 2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2 mm N l EA k 4 1 111 10 44 44 11 11                  mm N l EA k 4 2 222 10 22 22 11 11                  3. Ma trận độ cứng chung K: mm NK 4 10 220 2244 044                4. Véctơ lực nút chung F: F = [0 0 10]T 5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:                                    10 0 220 2244 044 10 3 2 1 4 R Q Q Q A 1 Hình 4.5. (a) Trục bậc chịu kéo đúng tâm; (b) Sơ đồ phần tử P=10 kN x B C 1 2 2 3 (a) (b) SinhVienKyThuat.Com

52. 42 6. Áp đặt điều kiện biên: Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A), do đó ta loại dòng 1 và cột 1 trong hệ phương trình trên. Cuối cùng ta thu được hệ phương trình:                       10 0 22 26 10 3 24 Q Q 7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất Giải hệ phương trình trên ta được: Q2 = 0,25  10-3 mm Q3 = 0,75  10-3 mm áp dụng công thức (4.31), ta tìm được phản lực liên kết: R1 =104  (-4 Q2 ) = -10 N Biến dạng được tính cho mỗi phần tử 1 = (-q1 + q2 )/l = 0,25 x10-5 /100 = 2,5 x10-6 2 = (-q2 + q3 )/l = 5 x10-6 Ứng suất được tính cho mỗi phần tử 1 = E 1 = 0,5 N/mm2 2 = E 2 = 1 N/mm2 Ví dụ 4.2. Cho một trục bậc chịu liên kết ngàm 2 đầu và tác dụng của lực P = 200 kN (hình 4.6a). Biết tiết diện các đoạn: A1=2400 mm2 ; A2 = 600 mm2 ; chiều dài các đoạn l1 = 300mm, l2 = 400 mm; và môđun đàn hồi: E1 = 70 gPa, E2 = 200 gPa. Hãy xác định chuyển vị tại B; ứng suất trong các đoạn trục AB, BC và phản lực tại A và C. Lời giải 2 A Hình 4.6. Trục bậc chịu kéo đúng tâm x 1 B C P=200 KN SinhVienKyThuat.Com

53. 43 Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, như hình 4.5b ở ví dụ 4.1. 1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau: Phần tử Nút i Nút j 1 1 2 2 2 3 2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2 mm N l EA k                  11 11 300 10702400 11 11 3 1 111 mm N l EA k                  11 11 400 10200600 11 11 3 2 222 3. Ma trận độ cứng chung K: mm NK 3 10 300300 300860560 0560560                4. Véctơ lực nút chung F: F = [R1 200103 R3]T 5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:                                    3 3 1 3 2 1 3 10200 3003000 300860560 0560560 10 R R Q Q Q 6. Áp đặt điều kiện biên: Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 0 (liên kết ngàm tại C) , do đó ta loại dòng 1, cột 1 và dòng 3, cột 3 trong hệ phương trình trên. Cuối cùng ta thu được phương trình: 860 Q2 = 200 7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất Giải phương trình trên ta được: SinhVienKyThuat.Com

54. 44 Q2 = 0,23257 mm Áp dụng công thức (4.31), ta tìm được các phản lực liên kết: R1 =103  (-560 Q2 ) = -130,233 KN R3 =103  (-300 Q2 ) = -69,767 KN Biến dạng được tính cho mỗi phần tử 1 = (-q1 + q2 )/l1 = 0,23257 /300 = 7,752 10-4 2 = (-q2 + q3 )/l2 = -0,23257 /400 = 5,81410-4 Ứng suất được tính cho mỗi phần tử 1 = E11 = 54,26 N/mm2 2 = E2 2 = 116,28 N/mm2 Ví dụ 4.3. Cho một trục tròn chịu liên kết ngàm tại A, khe hở giữa đầu C và thành cứng là 1,2mm, chịu tác dụng của lực P = 60 kN tại B (hình 4.7). Biết tiết diện của thanh là A=250 mm2 ; và môđun đàn hồi: E = 2103 N/mm2 Hãy xác định chuyển vị tại B; và phản lực tại A và C. Lời giải Ở đây, ta đã xem như đã thực hiện bước kiểm tra để kết luận rằng, trong quá trình biến dạng, đầu C của trục đã tiếp xúc với thành cứng và tiếp tục biến dạng. Tương tự các ví dụ trên, ta chia trục làm hai phần tử (1) và (2). Khi đó, ma trận độ cứng chung K được xác định như sau: mm NK 3 3 10 110 121 011 150 1020250                 Véctơ lực nút chung F: F = [R1 60103 R3]T 2A Hình 4.7. Tính kết cấu bằng phương pháp PTHH x 1 B C 150mm150mm 1,2mm P=60 KN SinhVienKyThuat.Com

55. 45 Hệ phương trình phần tử hữu hạn:                                     3 3 1 3 2 13 1060 110 121 011 150 1020250 R R Q Q Q Áp đặt điều kiện biên: Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 1,2 (khe hở tại C) , do đó ta loại dòng 1, cột 1. Cuối cùng ta thu được hệ phương trình: 3,3333104 (2 Q2 – 1,2) = 60103 3,3333104 (- Q2 + 1,2) = R3 Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất Giải phương trình trên ta được: Q2 = 1,5 mm; R3 =3,3333104  (-Q2 + 1,2) = – 10 kN R1 =3,3333104  (- Q2) = -50 kN SinhVienKyThuat.Com

58. 48 non=noe+1; % non = Number Of Nodes sdof=non*edof; kk=zeros(sdof,sdof); for row_indx=1:non for e=1:noe for n1=1:2 if (index(e,n1)==row_indx) for col_indx=1:non for n2=1:2 if (index(e,n2)==col_indx) kk(row_indx,col_indx)=kk(row_indx,col_indx)+ k(n1,n2,e); end end end end end end end kk % In ma tran do cung tong the % Tinh ma tran luc nut phan tu f=zeros(noe,2); for e=1:noe for i=1:nof if (index(e,1)==force_pos(i)) f(e,1)=temp_f(i); end if (index(e,2)==force_pos(i)) f(e,2)=temp_f(i); end end end for i=e:noe % In vecto luc nut phan tu SinhVienKyThuat.Com

59. 49 f(e,:) end % Xay dung vecto luc nut chung ff=zeros(sdof,1); for node=1:non for e=1:noe for n=1:2 if (index(e,n)==node) ff(node)=f(e,n); end end end end ff % In vecto luc nut chung % Ap dat dieu kien bien for node=1:noc kk(c(node),:)=0; kk(:,c(node))=0; ff(c(node))=0; kk(c(node),c(node))=1; end kk ff Q=kkff; SinhVienKyThuat.Com

61. 51 4.4. Xét kết cấu liên kết và chịu lực như Hình 4.10.4. Thanh nằm ngang được xem như là tuyệt đối cứng, các thanh treo được làm bằng thép và nhôm, có môđun đàn hồi như chỉ ra trên hình vẽ. Tính ứng suất trong mỗi thanh treo. Hình 4.10.4 thép 2×2 cm E=200×109 N/m2 Nhôm 2×4 cm 50cm 40 cm 30 cm 20 cm 60 KN Thanh tuyệt đối cứng, trọng lượng không đáng kể E=70×109 N/m2 150mm150mm 200mm 200mm 250mm2 400mm2 P=300 kN P=600 kN x 3.5mm Hình 4.10.3 SinhVienKyThuat.Com

62. 52 Chương 5 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 1. MỞ ĐẦU Trong chương này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán hệ thanh phẳng (hệ gồm n thanh liên kết với nhau bởi các khớp quay). Hệ thanh phẳng điển hình được trình bày trên Hình 5.1. Trong hệ thanh, tải trọng hoặc phản lực liên kết đặt ở các khớp nối; bỏ qua ma sát trong các khớp nối. Rõ ràng, mỗi phần tử của hệ thanh hoặc chịu kéo, hoặc chịu nén. Ta có thể gặp hệ thanh tĩnh định hoặc siêu tĩnh. 2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG Hệ thanh khác với các kết cấu một chiều đã xét trong Chương 4 ở chỗ: trong hệ thanh, các phần tử (các thanh) có các phương khác nhau. Để có thể tính đến sự khác nhau về phương của các phần tử trong hệ, ta cần phải đưa ra khái niệm hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung. Một phần tử thanh được mô tả trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung như trong Hình 5.2. 2 3 4 5 6 7 8 1 Q2 Q1 Q5 Q7 Q9 Q4 Q3 Q6 Q8 Q10 Q15 Q16 Q13 Q14 Q11 Q12 Hình 5.1. Hệ thanh phẳng SinhVienKyThuat.Com

63. 53 Trong sơ đồ đánh số nút địa phương, hai nút của phần tử được đánh số 1 và số 2. Hệ toạ độ địa phương hướng theo trục x’, chạy từ nút 1 đến nút 2. Tất cả các đại lượng trong hệ toạ độ địa phương được ký hiệu bởi dấu (‘). Hệ toạ độ chung (x,y) là cố định và không phụ thuộc vào phương của các phần tử. Trong hệ toạ chung, mỗi nút cũng có hai bậc tự do. Chẳng hạn, nút “j” sẽ có hai chuyển vị là Q2j-1 và Q2j. Gọi q1′ và q2′ là các chuyển vị của nút 1 và 2 tương ứng trong hệ toạ độ địa phương. Ta ký hiệu véctơ chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương bởi: q’ = [q1′ , q2′]T (5.1) Trong hệ toạ độ chung, véctơ chuyển vị có 4 thành phần: q = [q1, q2 , q3 , q4 ]T (5.2) Ta đi tìm quan hệ giữa q và q’. Dễ thấy q1′ = q1 cos + q2 sin (5.3a) q2′ = q3 cos + q4 sin (5.3b) Ký hiệu  = cos (5.4a) m = sin (5.4b) x y x’ 1 (a)   q1 q2 q4 q3 q1cos q2sin q3cos q4sin q’1 q’2 (b) Hình 5.2. Phần tử thanh trong hệ toạ độ địa phương (a) và trong hệ toạ độ chung (b) SinhVienKyThuat.Com

64. 54 Ta có thể viết q’ = L q (5.5) Trong đó L là ma trận chuyển vị, được viết dưới dạng:        ml ml L 00 00 (5.6) 3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ Các phần tử trong hệ thanh đều là các phần tử một chiều. Vì vậy, ta áp dụng những kết quả của chương 4 vào hệ thanh. Trong hệ toạ độ địa phương, ta đã xác định được ma trận độ cứng của phần tử          11 11 ‘ e ee l AE k (5.7) Để thiết lập ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung, ta chú ý tới biểu thức năng lượng biến dạng của phần tử ”’ 2 1 qkqU T e  (5.8) Thay q’ = Lq vào biểu thức trên, ta được  qLkLqU TT e ‘ 2 1  (5.9) Cuối cùng, năng lượng biến dạng trong hệ toạ độ chung được viết dưới dạng: qkqU T e 2 1  (5.10) Trong đó k là ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung và k = LT k’ L (5.11) Thay biểu thức của L từ (5.6) và của k’ từ (5.7) vào (5.11), ta được                    22 22 22 22 mlmmlm lmllml mlmmlm lmllml l AE k e ee (5.12) SinhVienKyThuat.Com

65. 55 Từ các ma trận độ cứng của các phần tử và nhờ bảng ghép nối phần tử, ta sẽ thu được ma trận độ cứng chung của cả hệ thanh. 4. ỨNG SUẤT Như đã lưu ý ở trên, mỗi phần tử trong hệ thanh hoặc chịu kéo, hoặc chịu nén. Do đó, ứng suất trong thanh được xác định bởi:  = Ee  Hoặc    Lq l E q q l E l qq E e e e e e e 11 ‘ ‘ 11 ” 2 112           Thế biểu thức của L từ (5.6) vào biểu thức trên ta được:  qmlml l E e e  (5.13) Như vậy, sau khi tìm được chuyển vị, ta sẽ xác định được ứng suất trong mỗi phần tử của hệ thanh. 5. VÍ DỤ Khảo sát hệ gồm hai thanh chịu lực P như hình dưới. Các thanh có cùng diện tích mặt cắt ngang và cùng vật liệu. Xác định chuyển vị tại điểm đặt lực. x 300 y L, A, E 1 2 300 P 3 2 1 (b)(a) Hình 5.3. (a) Kết cấu bằng chịu lực, (b) sơ đồ phần tử SinhVienKyThuat.Com

66. 56 Lời giải 1. Mô hình. Ta mô hình hoá hệ thanh bởi 2 phần tử hữu hạn; mỗi nút phần tử có 2 bậc tự do. 2. Xác định ma trận độ cứng của các phần tử Áp dụng công thức (5.12), ta tính được các ma trận độ cứng của các phần tử. Với phần tử 1: LLml  1;0sin;1cos                 0000 0101 0000 0101 1 L EA k Với phần tử 2: LLml 3 2 ; 2 1 sin; 2 3 cos 2                                8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 33 8 3 8 33 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 33 8 3 8 33 2 L EA k Từ đây, ta thiết lập được ma trận độ cứng chung K và hệ phương trình:                                                                            6 5 2 1 4 3 0 0 0 0 0 8 3 8 3 8 3 8 3 00 8 3 8 33 8 3 8 33 00 8 3 8 3 8 3 8 3 00 8 3 8 33 8 3 8 33 101 000000 000101 R R P R R Q Q L EA Áp dụng điều kiện biên: Q1 = Q2 = Q5 = Q6 =0, ta thu được hệ phương trình PTHH: SinhVienKyThuat.Com

67. 57                             PQ Q L EA 0 8 3 8 3 8 3 8 33 1 4 3 Giải hệ phương trình trên, ta được:                            EA LP EA LP Q Q 3 3 8 3 4 3 Thay các giá trị chuyển vị trên vào (5.14), ta tìm được phản lực liên kết:    PRRRRR 13036511  6. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH HỆ THANH PHẲNG Ví dụ Khảo sát hệ thanh chịu lực như sau (Hình 5.4). Các thanh có cùng diện tích mặt cắt ngang A = 2,5cm2 và cùng vật liệu, với E = 2105 N/cm2 . Xác định chuyển vị tại điểm đặt lực. Xác định ma trận độ cứng của các phần tử và ma trận độ cứng chung; chuyển vị tại điểm đặt lực và ứng suất trong các thanh và các phản lực liên kết. Chương trình nguồn x y 1 2 P=100KN 2 1 Hình 5.4. Tính kết cấu bằng phương pháp PTHH 3 4 3 4 Q2 Q3 Q4 Q6 Q5 Q7 Q8 100 cm 75 cm Q1 SinhVienKyThuat.Com

69. 59 lcoord(1,2,1)=0; lcoord(2,1,1)=length; lcoord(2,2,1)=0; lcoord(1,1,2)=lcoord(2,1,1); lcoord(1,2,2)=lcoord(2,2,1); lcoord(2,1,2)=lcoord(2,1,1); lcoord(2,2,2)=length*3/4; lcoord(1,1,3)=0; lcoord(1,2,3)=0; lcoord(2,1,3)=length; lcoord(2,2,3)=length*3/4; lcoord(1,1,4)=0; lcoord(1,2,4)=length*3/4; lcoord(2,1,4)=length; lcoord(2,2,4)=length*3/4; % Chi so nut phan tu theo chi so nut chung index(1,1)=1; index(1,2)=2; index(2,1)=2; index(2,2)=3; index(3,1)=1; index(3,2)=3; index(4,1)=4; index(4,2)=3; end % Tinh chieu dai cac thanh l(e) va ma tran chuyen doi he co so: % trans_mat(e). for i=1:noe L(i)=sqrt((lcoord(2,1,i)-lcoord(1,1,i))^2+(lcoord(2,2,i)- lcoord(1,2,i))^2); l(i)=(lcoord(2,1,i)-lcoord(1,1,i))/L(i); m(i)=(lcoord(2,2,i)-lcoord(1,2,i))/L(i); % Ma tran chuyen doi he toa do trans_mat(1,1,i)=l(i); trans_mat(1,2,i)=m(i); trans_mat(1,3,i)=0; trans_mat(1,4,i)=0; SinhVienKyThuat.Com

70. 60 trans_mat(2,1,i)=0; trans_mat(2,2,i)=0; trans_mat(2,3,i)=l(i); trans_mat(2,4,i)=m(i); % Ma tran chuyen doi he toa do ung suat stress_trans(i,1)=-l(i); stress_trans(i,2)=-m(i); stress_trans(i,3)=l(i); stress_trans(i,4)=m(i); % Modul dan hoi cua cac thanh E(i)=emodul; A(i)=area; % Tiet dien ngang cua cac thanh end % Tinh ma tran do cung phan tu trong he toa do dia phuong for i=1:noe k_local(1,1,i)=(E(i)*A(i)/L(i)); k_local(1,2,i)=-k_local(1,1,i); k_local(2,1,i)=-k_local(1,1,i); k_local(2,2,i)=k_local(1,1,i); end % Tinh ma tran do cung phan tu trong he toa do chung trans_trans_mat=permute(trans_mat,[2,1,3]); for i=1:noe k(:,:,i)=trans_trans_mat(:,:,i)*k_local(:,:,i)*trans_mat(:,:,i); end k % In ma tran do cung phan tu % Xay dung ma tran do cung tong the edof=2; %edof: so bac tu do cua 1 node sdof=non*edof; kk=zeros(sdof,sdof); for row_indx=1:non for e=1:noe for n1=1:2 if (index(e,n1) = = row_indx) for col_indx=1:non for n2=1:2 if (index(e,n2)==col_indx) SinhVienKyThuat.Com

71. 61 for i=1:2 for j=1:2 kk((row_indx-1)*edof+i,(col_indx-1)*edof+j)=… kk((row_indx-1)*edof+i,(col_indx-1)*edof+j)+… k((n1-1)*edof+i,(n2-1)*edof+j,e); end end end end end end end end end kkk=kk; kk % In ma tran do cung tong the % Tinh ma tran luc nut phan tu f=zeros(noe,2*edof); f(2,1)=20000 f(2,4)=-25000; f % In ve to luc nut phan tu % Xay dung ve to luc nut chung ff=zeros(sdof,1); for row_indx=1:non for e=1:noe for n=1:2 % 2:so node/phan tu if (index(e,n)==row_indx) for i=1:2 ff((row_indx-1)*edof+i)=ff((row_indx-1)*edof+i)… +f(e,(n-1)*edof+i); end end end end end % In vec to luc nut chung ff SinhVienKyThuat.Com

72. 62 % Ap dat dieu kien bien for i=1:sdof disp(i)=1; end disp(1)=0; disp(2)=0; disp(4)=0; disp(7)=0; disp(8)=0; for i=1:sdof if (disp(i)==0) kk(i,:)=0; kk(:,i)=0; ff(i)=0; kk(i,i)=1; end end kk ff % Giai he PT PTHH xac dinh chuyen vi nut disp=kkff; % In vec to chuyen vi nut chung disp % Xac dinh chuyen vi nut trong cac thanh for e=1:noe for i=1:2 % 2 nut for j=1:edof % edof=2: 2 bac tu do/nut eldisp(e,(i-1)*edof+j)=disp((index(e,i)-1)*edof+j); end end end eldisp % Tinh Ung suat trong cac thanh stress=zeros(noe,1); for e=1:noe stress(e)=(E(e)/L(e))*stress_trans(e,:)*eldisp(e,:)’; end SinhVienKyThuat.Com

73. 63 stress % Tinh Phan luc lien ket tai cac goi R=zeros(sdof,1); R=kkk*disp; R SinhVienKyThuat.Com

74. 64 Kết quả số k(:,:,1) = 1.0e+011 * 1.2916 0 -1.2916 0 0 0 0 0 -1.2916 0 1.2916 0 0 0 0 0 k(:,:,2) = 1.0e+011 * 0 0 0 0 0 1.7221 0 -1.7221 0 0 0 0 0 -1.7221 0 1.7221 k(:,:,3) = 1.0e+010 * 6.6128 4.9596 -6.6128 -4.9596 4.9596 3.7197 -4.9596 -3.7197 -6.6128 -4.9596 6.6128 4.9596 -4.9596 -3.7197 4.9596 3.7197 k(:,:,4) = 1.0e+011 * 1.2916 0 -1.2916 0 0 0 0 0 -1.2916 0 1.2916 0 0 0 0 0 kk = SinhVienKyThuat.Com

75. 65 1.0e+011 * 1.9529 0.4960 -1.2916 0 -0.6613 -0.4960 0 0 0.4960 0.3720 0 0 -0.4960 -0.3720 0 0 -1.2916 0 1.2916 0 0 0 0 0 0 0 0 1.7221 0 -1.7221 0 0 -0.6613 -0.4960 0 0 1.9529 0.4960 -1.2916 0 -0.4960 -0.3720 0 -1.7221 0.4960 2.0941 0 0 0 0 0 0 -1.2916 0 1.2916 0 0 0 0 0 0 0 0 0 disp = 1.0e-006 * Q1 0 Q2 0 Q3 0.1549 Q4 0 Q5 0.0323 Q6 -0.1270 Q7 0 Q8 0 SinhVienKyThuat.Com

76. 66 eldisp= Phần tử Nút 1 Nút 2 Phương x 1.0e-006 * Phương y 1.0e-006 * Phương x 1.0e-006 * Phương y 1.0e-006 * 1 0 0 0.1549 0 2 0.1549 0 0.0323 -0.1270 3 0 0 0.0323 -0.1270 4 0 0 0.0323 -0.1270 stress= Phần tử Ứng suất (mPa) 1 31.0001 2 -33.9063 3 -8.0729 4 6.4583 R = Ri Phản lực liên kết (N) 1.0e+004 * 1 -1.5833 2 0.3125 3 2.0000 4 2.1875 5 -0.0000 6 -2.5000 7 -0.4167 8 0 SinhVienKyThuat.Com

77. 67 7. BÀI TẬP 5.1. Một kết cấu thanh giằng như trên Hình 5.7.1. Vật liệu các thanh bằng thép, có môđun đàn hồi E=200gPa. Xác định ma trận độ cứng tổng thể của hệ. 5.2. Một kết cấu giàn gồm 3 thanh được đánh số (nút và thanh) như trên Hình 5.7.2. Vật liệu của các thanh I và II là nhôm, vật liệu của thanh III là thép. Tiết diện của thanh I là 15cm2 và tiết diện của thanh II và III là 8cm2 . Xác định chuyển vị của nút 2 và ứng suất trong các thanh. Giải bài toán bằng tay và bằng cách sử dụng phần mềm tính toán kết cấu tương ứng. Khi giải bằng tay yêu cầu biểu diễn ma trận độ cứng tổng thể dưới dạng toàn bộ và dưới dạng rút gọn. Cho Enhôm = 70gPa, Ethép = 210gPa. Hình 5.7.1 1000 mm2 1250 mm2 P 500 mm 750 mm Q2i Q2i-1 1 2 3 i 0,7m 1 2 8 kN 3 4 5 kN y x I IIIII 0,5m 1m Hình 5.7.2. Dàn chịu lực SinhVienKyThuat.Com

78. 68 5.3. Một kết cấu giàn gồm 5 thanh được đánh số (nút và thanh) như trên Hình 5.7.3. Vật liệu của các thanh đều là thép và có môđun đàn hồi Ethép = 210gPa. Tiết diện của thanh I, II và III là 15cm2 và tiết diện của thanh IV và V là 8cm2 . Xác định chuyển vị của các nút và ứng suất trong các thanh. Giải bài toán bằng tay và bằng cách sử dụng chương trình tính toán kết cấu tương ứng. Khi giải bằng tay nên chú ý đến tính đối xứng của kết cấu. Cho a = 0,5 m; α = 600 ; P = 2kN; Q = 4kN. 5.4. Một cây cầu đường sắt được ghép từ các thanh thép, tiết diện của các thanh thép bằng nhau và bằng 3250 mm2 . Một đoàn tàu dừng trên cầu, cầu phải chịu tải trọng của đoàn tàu (Hình 5.7.4). Tính chuyển vị theo phương ngang gối di động R dưới tác dụng của các tải trọng. Xác định chuyển vị tại các nút và ứng suất trong mỗi thanh cầu. 5.5. Một kết cấu cầu được tính toán thiết kế theo mô hình dàn thanh như trên Hình 5.7.5. Kết cấu này được cấu thành từ 6 nhịp. Tải trọng biểu diễn trên hình vẽ mô tả trạng thái làm việc nguy hiểm nhất của kết cấu. Vật liệu sử dụng trong kết cấu là thép với môđun đàn hồi Ethép = 210gPa. Xác định tiết diện cho các thanh sao cho tối ưu theo 280 kN 210 kN 280 kN 360 kN 3.118m 3.6m 3.6m 3.6m 600 600 Hình 5.7.4. Mô hình một nhịp cầu chịu lực R y a a x 1 2 3 45 I IV V III II Q P αα Hình 5.7.3. Dàn chịu lực Q P SinhVienKyThuat.Com