--- Bài mới hơn ---
Khoảng Cách Giữa 2 Đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz Phương Pháp Tính Khấu Hao Nhanh? Quy Định Mới Về Phương Pháp Tính Lãi Trong Hoạt Động Nhận Tiền Gửi, Cấp Tín Dụng Giữa Tổ Chức Tín Dụng Với Khách Hàng Phân Biệt Lãi Đơn Và Lãi Kép Tính Lãi Kép (Lãi Cộng Dồn) Online
Muốn tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì các em học sinh cần nắm vững cách tính khoảng cách từ điểm tới một mặt phẳng và cách dựng hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng. Chi tiết về vấn đề này, mời các em xem trong bài viết Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
1. Các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (a) và (b) trong không gian, chúng ta có 3 hướng xử lý như sau:
- Cách 2. Chuyển về tính khoảng cách từ đường thẳng thứ nhất tới mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng thứ hai. $$ begin{cases}
a parallel (P)\ b subset (P)
- Cách 3. Chuyển về tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đã cho. $$ begin{cases}
asubset (P)\
bsubset (Q)\
(P)parallel (Q)
end{cases} Rightarrow d(a,b)=d((P),(Q))$$
Cách 1 thì chỉ nên sử dụng khi hai đường thẳng (a) và (b) vuông góc với nhau. Lúc đó việc dựng đoạn vuông góc chung là khá dễ dàng, còn khi (a) và (b) không vuông góc với nhau thì dựng đường vuông góc chung rất phức tạp. Xin xem phần 2.3 để biết thêm về cách dựng đoạn vuông góc chung.
Cách 2 thường được sử dụng nhiều hơn cả, cách 3 chỉ sử dụng khi việc kẻ đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng ban đầu gặp khó khăn.
2. Các ví dụ minh họa xác định khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau
2.1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách đưa về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông với $ BA=BC=a $, cạnh bên $ AA’=asqrt{2}. $ Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AM $ và $ B’C $.
Hướng dẫn. Lấy $ N $ là trung điểm của $ BB’ $, ta có $ MN $ là đường trung bình của tam giác $ B’BC $ nên $ B’C $ song song với $ MN $. Như vậy đường thẳng $ B’C $ song song với mặt phẳng $ (AMN) $, và do đó
Hình chóp $ chúng tôi $ có ba tia $ BA,BM,BN $ đồng quy và đôi một vuông góc nên đặt $d=d(B,(AMN))$ thì có Lại có $ BB’ $ cắt mặt phẳng $ (AMN) $ tại trung điểm $ N $ của $ BB’ $ nên Từ đó tìm được khoảng cách từ giữa $B’C $ và $ AM $ là $ frac{a}{sqrt{7}}. $
Ví dụ 4. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a, $ cạnh $ SA=asqrt{2}$. Tính khoảng cách giữa $ AB $ và $ SC. $
Hướng dẫn. Có $ ABparallel CD $ nên $ ABparallel (SCD) $. Do đó, gọi $ O $ là tâm hình vuông thì có $$ {d}(AB,SC)={d}(AB,(SCD))={d}(A,(SCD)) $$ Nhưng đường thẳng ( AO ) cắt mặt phẳng ( (SCD) ) tại điểm ( C ) nên có
$$ frac{d(A,(SCD))}{d(O,(SCD))}=frac{AC}{OC}=2$$ Suy ra ( d(A,(SCD))=2d(O,(SCD)) ). Đây chính là bài toán 1, kẻ vuông góc hai lần và tìm được đáp số $ mathrm{d}(AB,SC)=frac{2asqrt{21}}{7}. $
Có $ ABparallel CD $ nên $ ABparallel (SCD) $. Do đó, gọi $ O $ là tâm hình vuông thì có $$ {d}(AB,SC)={d}(AB,(SCD))={d}(A,(SCD)) $$ Nhưng đường thẳng ( AO ) cắt mặt phẳng ( (SCD) ) tại điểm ( C ) nên có$$ frac{d(A,(SCD))}{d(O,(SCD))}=frac{AC}{OC}=2$$ Suy ra ( d(A,(SCD))=2d(O,(SCD)) ). Đây chính là bài toán 1, kẻ vuông góc hai lần và tìm được đáp số $ mathrm{d}(AB,SC)=frac{2asqrt{21}}{7}. $
Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác $ chúng tôi $ có đáy là hình thoi đường chéo $ AC=4,SO=2sqrt{2}$ và $ SO $ vuông góc với đáy $ ABCD $, ở đây $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD$. Gọi $ M $ là trung điểm của $ SC $. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ SA $ và $ BM. $
Hướng dẫn. Ta có $ MO $ là đường trung bình của tam giác $ SAC $ nên $ SA $ song song với $ MO. $ Do đó $ SA $ song song với mặt phẳng $ (MBD). $ Dẫn tới Gọi $ K $ là chân đường vuông góc hạ từ $ C $ xuống $ MO $ thì chứng minh được $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ lên mặt phẳng $ (MBD). $
Ta có $ MO $ là đường trung bình của tam giác $ SAC $ nên $ SA $ song song với $ MO. $ Do đó $ SA $ song song với mặt phẳng $ (MBD). $ Dẫn tới Gọi $ K $ là chân đường vuông góc hạ từ $ C $ xuống $ MO $ thì chứng minh được $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ lên mặt phẳng $ (MBD). $
Bây giờ, để tính được độ dài đoạn ( CK ) thì ta sẽ tính diện tích tam giác ( MOC ) theo hai cách. Có
$$ S_{Delta MOC} =frac{1}{4} S_{Delta SAC}=frac{1}{8}SOcdot AC$$ Nhưng mặt khác $$ S_{Delta MOC} =frac{1}{2} CK cdot OM=frac{1}{4}CKcdot SA$$ Từ đó suy ra
$$ CK=frac{SOcdot AC}{2 SA}= frac{2sqrt{6}}{3}.$$ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SA $ và $ BM $ là $frac{2sqrt{6}}{3}$.
Ví dụ 7. Cho hình chóp $ chúng tôi $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B,$ $ AB = 2a,$ $widehat{BAC}=60^circ, $ cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA=asqrt{3}. $ Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ AB $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SB $ và $ CM $.
Hướng dẫn.
Gọi $ N $ là trung điểm $ SA $ thì $ MNparallel SB $ nên $$ d(SB,CM)=d(SB,(CMN))=d(B,(CMN)). $$ Lại có đường thẳng ( AB ) cắt mặt phẳng ( (CMN) ) tại trung điểm ( M ) của ( AB ) nên suy ra $$ d(B,(CMN))=d(A,(CMN)) $$ Tính khoảng cách từ điểm ( A ) tới mặt phẳng ( (CMN) ) chúng ta sử dụng bài toán 1.
Gọi $ N $ là trung điểm $ SA $ thì $ MNparallel SB $ nên $$ d(SB,CM)=d(SB,(CMN))=d(B,(CMN)). $$ Lại có đường thẳng ( AB ) cắt mặt phẳng ( (CMN) ) tại trung điểm ( M ) của ( AB ) nên suy ra $$ d(B,(CMN))=d(A,(CMN)) $$ Tính khoảng cách từ điểm ( A ) tới mặt phẳng ( (CMN) ) chúng ta sử dụng bài toán 1.
Hạ $ AEperp MC $ thì chú ý rằng, tam giác $ AMC $ có góc $widehat{M} $ tù nên $ E $ nằm ngoài đoạn $ MC. $ Sử dụng tam giác đồng dạng hoặc tính diện tích tam giác $ AMC $ theo hai cách, tính được $ AE=frac{2asqrt{3}}{sqrt{29}}. $ Tiếp tục hạ $ AHperp AE $ thì tính được $$ d(A,(CMN))=AH=frac{2asqrt{3}}{sqrt{29}}.$$
Ví dụ 8. Cho hình chóp đều $ chúng tôi $ có $ SA=2a,AB=a $. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ BC $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AM,SB $.
Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm tam giác đều $ ABC $. Gọi $ N $ là trung điểm $ SC $ thì $ MNparallel SB $ nên $$ d(AM,SB)=d(SB,(AMN))=d(B,(AMN))$$ Mặt khác, vì $ M $ là trung điểm $ BC $ nên $d(B,(AMN))=d(C,(AMN))$.
Gọi $ O $ là tâm tam giác đều $ ABC $. Gọi $ N $ là trung điểm $ SC $ thì $ MNparallel SB $ nên $$ d(AM,SB)=d(SB,(AMN))=d(B,(AMN))$$ Mặt khác, vì $ M $ là trung điểm $ BC $ nên $d(B,(AMN))=d(C,(AMN))$.
Gọi $ I $ là trung điểm $ OC $ thì $ NIperp (ABC) $, hơn nữa $ d(C,(AMN))=2d(I,(AMN)). $ Từ $ I $ hạ $ IJ $ vuông góc xuống $ OM $ thì $ J $ là trung điểm $ OM. $ Tiếp tục hạ $ IK$ vuông góc xuống $NJ $ thì ta có $$ d(I,(AMN))=IK=asqrt{frac{11}{188}} $$ Từ đó tìm được đáp số $d(AM,SB)= frac{asqrt{517}}{47}. $
2.2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách đưa về khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Ví dụ 9. Khoảng cách này lại bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này tới mặt phẳng còn lại, ở đây chúng ta chọn điểm (D ), thì có $$ d( (A’PB),(MDNB’))= =d( D,(A’PB))$$ Nhưng, đoạn thẳng ( AD ) cắt mặt phẳng ( (A’PB) ) tại trung điểm ( P ) nên có $$ d( D,(A’PB))=d(A,(A’PB))=d$$ Rõ ràng ( AB,AP,AA’ ) là ba tia đồng quy và đôi một vuông góc nên có ngay $$ frac{1}{d^2}=frac{1}{AB^2}+frac{1}{AP^2}+frac{1}{A’A^2}$$ Thay số vào tìm được đáp số $d(A’B,B’D)=frac{a}{3}. $
Gọi $ M , N , P $ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $ A’ D ‘ ,BC , AD $ thì dễ dàng chứng minh được hai mặt phẳng ( (A’BP) ) và ( B’NDM ) song với nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng ( A’B ) và ( B’D ). Do đó, khoảng cách cần tìm[ d(A’B,B’D)=d( (A’PB),(MDNB’))] Khoảng cách này lại bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này tới mặt phẳng còn lại, ở đây chúng ta chọn điểm (D ), thì có $$ d( (A’PB),(MDNB’))= =d( D,(A’PB))$$ Nhưng, đoạn thẳng ( AD ) cắt mặt phẳng ( (A’PB) ) tại trung điểm ( P ) nên có $$ d( D,(A’PB))=d(A,(A’PB))=d$$ Rõ ràng ( AB,AP,AA’ ) là ba tia đồng quy và đôi một vuông góc nên có ngay $$ frac{1}{d^2}=frac{1}{AB^2}+frac{1}{AP^2}+frac{1}{A’A^2}$$ Thay số vào tìm được đáp số $d(A’B,B’D)=frac{a}{3}. $
Ví dụ 10. Cho hình hộp đứng ( ABCD.A’B’C’D’ ) có đáy là hình bình hành với ( AB=a ), ( AD=2a ), góc (BAD) bằng ( 60^circ ) và ( AA’=asqrt{3}. ) Gọi ( M,N,P ) lần lượt là trung điểm của ( A’B’ ), ( BD ) và ( DD’ ). Gọi (H ) là hình chiếu vuông góc của ( B ) lên ( AD ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( MN ) và ( HP ).
Hướng dẫn. Gọi ( Q ) là trung điểm của ( AB ) thì có ngay hai mặt phẳng ( (MNQ) ) và ( (ADD’A’) ) song song với nhau. Hơn nữa, hai mặt phẳng này còn lần lượt chứa hai đường thẳng ( MN ) và ( HP ) nên $$ d(MN,HP)=d((MNQ),(ADD’A’)) $$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song này chính bằng khoảng cách từ ( Q ) tới mặt phẳng ( (ADD’A’) ) và bằng một nửa khoảng cách từ ( B ) tới mặt phẳng ( (ADD’A’) ). Từ đó tìm được đáp số ( d(MN,HP)=frac{asqrt{3}}{4}.)
2.3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách dựng đoạn vuông góc chung
Trong trường hợp đặc biệt khi hai đường thẳng (a) và (b) chéo nhau đồng thời lại vuông góc với nhau, thì thường tồn tại một mặt phẳng $(alpha)$ chứa (a) và vuông góc với (b). Ta dựng đoạn vuông góc chung qua hai bước sau:
- Tìm giao điểm (H) của đường thẳng (b) và mặt phẳng ((alpha)).
- Trong mặt phẳng ((alpha)), dựng (HK) vuông góc với (a) tại ( K) thì ( HK) chính là đoạn vuông góc chung.
Tổng quát, việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau được thực hiện như sau:
- Dựng mặt phẳng ( (alpha) ) chứa đường thẳng ( b ) và song song với đường thẳng ( a ).
- Tìm hình chiếu vuông góc ( a’ ) của ( a ) trên mặt phẳng ((alpha)).
- Tìm giao điểm ( N ) của ( a’ ) và ( b ), dựng đường thẳng qua ( N ) và vuông góc với ( (alpha) ), đường thẳng này cắt ( a ) tại ( M ).
Kết luận: Đoạn ( MN ) chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ( a ) và ( b ).
Ví dụ 11. Cho tứ diện đều $ ABCD $ có độ dài các cạnh bằng $ 6sqrt{2} $cm. Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ AB $ và $ CD $.
Hướng dẫn. Gọi $ M , N $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB , CD $. Chứng minh được $ MN $ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $ AB,CD $ và khoảng cách giữa chúng là $ MN=6 $cm.
Ví dụ 12. Cho hình chóp $ chúng tôi $ có đáy là tam giác vuông tại $ B , AB=a , BC=2a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA=2a. $ Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ AB $ và $ SC $.
Hướng dẫn. Lấy điểm $ D $ sao cho $ ABCD $ là hình chữ nhật thì $ AB $ song song với $ (SCD). $ Gọi $ E $ là chân đường vuông góc hạ từ $ A $ xuống $ SD $ thì chứng minh được $ E $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ (SCD). $
Qua $ E $ kẻ đường thẳng song song với $ CD $ cắt $ SC $ tại $ N $, qua $ N $ kẻ đường thẳng song song với $ AE $ cắt $ AB $ tại $ M $ thì $ MN $ là đường vuông góc chung cần tìm. Đáp số $ asqrt{2}. $
--- Bài cũ hơn ---
Irr Là Gì, Cách Tính Irr Ra Sao? Chỉ Số Irr Là Gì? Công Thức Tính Irr Và Những Điều Cần Lưu Ý Hiệu Điện Thế Là Gì? Công Thức Tính, Đơn Vị Đo Của Hiệu Điện Thế Giải Bài Tập Vật Lý 11 Nâng Cao Phân Tích Hiệu Quả Dự Án Đầu Tư Và Phân Tích Tài Chính