Top 19 # Trình Bày Phương Pháp Quy Nạp Toán Học / 2023 Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 12/2022 # Top Trend | Sansangdethanhcong.com

Phương Pháp Quy Nạp Toán Học / 2023

I. Phương pháp qui nạp toán họcBài toán: Gọi A(n) là một mệnh đề chứa biến n, n ∈ N*. Chứng minh A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ∈ N*.Cách giải: (Người ta thường sử dụng phương pháp sau đây)* Bước 1: Chứng minh A(n) đúng khi n = 1. (*)* Bước 2: Với k là số nguyên dương tùy ý, giả sử A(n) đúng với n = k, chứng minh A(n) cũng đúng khi n = k + 1. (*): trong thực tế, ta còn gặp các bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề A(n) (nói trên) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p, trong đó p là số tự nhiên cho trước. Trong trường hợp đó, thay cho chứng minh A(n) đúng khi n = 1, ta chứng minh A(n) đúng khi n = p.

Áp dụng công thức Nhị thức Niu-tơn, ta có:

Vậy mệnh đề đã cho đúng

II. Dãy số

1. Định nghĩa : Dãy số (u n) là một ánh xạ từ N* vào R: f: N* → R Khi đó, ta có u n = f(n).

2. Cách xác định một dãy số

Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát u n. Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi, tức là:* Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)* Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.

4. Dãy số bị chặnĐịnh nghĩa 3: (Dãy số bị chặn trên): Dãy số (u n) được gọi là bị chặn trên nếu: ∃M ∈ R : u n ≤ M, ∀n ∈ N*Định nghĩa 4 : (Dãy số bị chặn dưới): Dãy số (u n) được gọi là bị chặn dưới nếu: ∃m ∈ R : u n ≥ m, ∀n ∈ N*Định nghĩa 5: (Dãy số bị chặn): Dãy số (u n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là: ∃m, M ∈ R : m ≤ u n ≤ M, ∀n ∈ N*

5. Các dạng bài tập Dạng 1: Xác định các số hạng của dãy số.

Phương pháp giải:

Thay n vào công thức hoặc hệ thức truy hồi.

Ví dụ 1: Cho dãy số với . Tìm số hạng .

Lời giải:

Lời giải:

Ta có:

Phương pháp giải: Xác định số hạng tổng quát cho bởi hệ thức truy hồi

– Tính thử các số hạng đầu, dự đoán .

– Chứng minh hệ thức đó đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Ví dụ 3: Cho dãy số xác định bởi: . Tìm số hạng tổng quát .

Lời giải:

Ta có:

Ta dự đoán (1)

Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp.

+ Với n = 1, ta có: ⇒ (1) đúng với n = 1.

+ Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là: .

Thật vậy, ⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Phương pháp giải:

Vậy (1) là công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

+ là dãy số tăng .

+ là dãy số giảm

+ Để so sánh và ta có thể xét hiệu – hoặc xét thương .

Ví dụ 4: Xét tính tăng giảm của dãy số :

Lời giải:

Ta có:

Do đó dãy số đã cho là dãy số tăng.

Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học / 2023

Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và hiệu quả hơn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.

Giải SBT Toán 11 bài 1

Bài 1.1 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N*)

a) 2+5+8+…+(3n−1)=n(3n+1)/2

Giải:

a) Đặt vế trái bằng S n. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có S k=k(3k+1)/2 với k≥1.

Ta phải chứng minh S k+1=(k+1)(3k+4)/2

Thật vậy

=k(3k+1)/2+3k+2

=(k+1)(3k+4)/2(đpcm)

b) Đặt vế trái bằng làm tương tự như câu a).

Bài 1.2 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )

Giải:

a) Đặt vế trái bằng S n

Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1(4.1−1)/3=1

Giả sử đã có S k=k(4k 2 −1)/3 với k≥1. Ta phải chứng minh

Thật vậy, ta có

=(2k+1)[k(2k−1)+3(2k+1)]/3

=(k+1)(2k2+5k+3)/3

=(k+1)(2k+3)(2k+1)/3

b) Đặt vế trái bằng A n

Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.

Ta có:

Bài 1.3 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có

a) 2n 3−3n 2+n chia hết cho 6.

b) 11 n+1+12 2n−1 chia hết cho 133.

Giải:

Giả sử đã có B k=2k 3−3k 2+k chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh B k+1=2(k+1) 3−3(k+1) 2+k chia hết cho 6.

b) Đặt A n=11 n+1+12 2n−1 Dễ thấy A 1=133 chia hết cho 133.

Giả sử A k=11 k+1+12 2k−1 đã có chia hết cho 133.

Ta có

Vì A k⋮133Ak⋮133 nên A k+1 ⋮133

Bài 1.4 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)

Giải:

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

b) Với n = 1 thì sin 2α+cos 2 α=1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có sin 2kα+cos 2k α≤1 với k≥1, ta phải chứng minh

Thật vậy, ta có:

sin2k+2α+cos2k+2αsin2k+2α+cos2k+2α

Bài 1.5 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

Giải:

Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

Phương pháp: Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

a) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Với thì n≥3 bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

b) HD: Dùng phép thử.

Với n từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.

Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi n = 7. Ta có thể làm tiếp để đi tới dự đoán: Với thì bất phương trình được nghiệm đúng. Sau đó chứng minh tương tự như câu a).

c) Làm tương tự như câu a) và câu b).

Bài 1.6 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho tổng

S n=1/1.5+1/5.9+1/9.13+…+1/(4n−3)(4n+1)

b) Dự đoán công thức tính S n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải:

a) Tính

b) Viết lại

Ta có thể dự đoán S n=n/4n+1

Bài 1.7 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho n số thực a 1,a 2,…,a n thoả mãn điều kiện

−1<a i ≤0 với i=1, n¯

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có

Giải:

Với n = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥1 tức là

Nhân hai vế của (1) với 1+a k+1 ta được

Bài 1.8 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với các số thực a 1,a 2,a 3,…,a n(n∈N∗), ta có

Giải:

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥2. Đặt a 1+a 2+…+ak=A ta có

18 Câu Trắc Nghiệm Phương Pháp Quy Nạp Toán Học / 2023

18 câu trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học – Dãy số có đáp án

Câu 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

Hiển thị đáp án

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn đáp án

Câu 2: Với mỗi số nguyên dương n, gọi u n = 9 n – 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì u n luôn chia hết cho 8.

Hiển thị đáp án

Vậy (*) đúng với n = 2 .

* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

Vậy (*) đúng với n = k + 1.

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3 .

D. Đáp án khác

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm

D. Dãy số không đổi.

Câu 6: Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số :

A. Dãy số giảm, bị chặn trên

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số tăng, bị chặn.

D. Dãy số giảm, bị chặn dưới.

A. 300.

B. 212.

C. 250.

D. 249.

Câu 8: Chứng minh bằng quy nạp:

Câu 9: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp n 3 + 11n chia hết cho 6.

Hiển thị đáp án

Hiển thị đáp án

Vậy (*) đúng với n = k + 1. Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn đáp án B

A. Dãy số giảm.

B. Dãy số không tăng không giảm

C. Dãy số không đổi.

D. Dãy số tăng

Câu 12: Cho dãy số . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn.

B. Dãy số giảm và bị chặn.

C. Dãy số tăng và bị chặn dưới

D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

A. Dãy số bị chặn trên

B. Dãy số bị chặn dưới.

C. Dãy số bị chặn

D. Tất cả sai.

Câu 14: Cho dãy số (u n) xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát u n theo n.

D. Đáp án khác

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Dãy số không đổi.

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Dãy số là dãy hữu hạn

A. Dãy số bị chặn dưới.

B. Dãy số bị chặn trên.

C. Dãy số bị chặn.

D. Không bị chặn

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2004 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Đăng ký khóa học tốt 11 dành cho teen 2k4 tại chúng tôi

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Giáo Án Tự Chọn 11 Cơ Bản Tiết 14: Bài Tập Phương Pháp Quy Nạp Toán Học / 2023

I/ Mục tiêu bài dạy :

1) Kiến thức :Rèn luyện về phương pháp quy nạp toán học.

2) Kỹ năng :Biết vận dụng phương pháp quy nạp vào việc chứng minh các bài toán.

3) Tư duy : sử dụng thành thạo phương pháp quy nạp.

4) Thái độ : Cẩn thận trong tính toán và trình bày . Tích cực tham gia vào bài học

II/ Phương tiện dạy học :

– Giáo án , SGK ,STK .

III/ Phương pháp dạy học :

– Thuyết trình và Đàm thoại gợi mở.

– Học sinh làm bài tập,giáo viên hướng dẫn sửa bài tập.

Tiết 14 : BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I/ Mục tiêu bài dạy : 1) Kiến thức :Rèn luyện về phương pháp quy nạp toán học. 2) Kỹ năng :Biết vận dụng phương pháp quy nạp vào việc chứng minh các bài toán. 3) Tư duy : sử dụng thành thạo phương pháp quy nạp. 4) Thái độ : Cẩn thận trong tính toán và trình bày . Tích cực tham gia vào bài học II/ Phương tiện dạy học : Giáo án , SGK ,STK . Dụng cụ. III/ Phương pháp dạy học : - Thuyết trình và Đàm thoại gợi mở. - Học sinh làm bài tập,giáo viên hướng dẫn sửa bài tập. IV/ Tiến trình bài học và các hoạt động : Hoạt động 1 : Kiểm tra bài cũ. HĐGV HĐHS NỘI DUNG -Nêu các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp? -Nhận xét,kết luận về câu trả lời. -Phát biểu các bước CM quy nạp. -Nhận xét,đánh giá. -Ghi nhận kiến thức. -Các bước CM bằng phương pháp quy nạp toán học. Hoạt động 2 : Bài tập số 1. HĐGV HĐHS NỘI DUNG Chứng minh rằng chia hết cho 6. -Hướng dẫn chứng minh. -Nhận xét bài làm. -Làm vào giấy nháp và lên bảng làm. -Nhận xét bài làm của bạn -Ghi nhận kết quả,ghi vào vỡ. Khi n=1 ta có chia hết cho 6. Giả sử khi n=k thì Ta chứng minh đúng với n=k+1 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Vậy Hoạt động 3 : Bài tập 2 HĐGV HĐHS NỘI DUNG Chứng minh rằng * ta có: -Hướng dẫn học sinh làm bài tập. -Nhận xét,đánh giá và kết luận bài làm của học sinh. -Làm vào vỡ nháp,lên bảng làm. -Dùng tổ hợp. -Nhận xét về bài làm -Ghi nhận kiến thức. Khi n = 1, Giả sử MĐ đúng khi n = k : Ta phải chứng minh đúng với n=k+1 Chia hết cho 9 vì chia hết cho 9. Vậy Hoạt động 4 : Bài tập số 3. HĐGV HĐHS NỘI DUNG Chứng minh rằng ta có: -Hướng dẫn học sinh chứng minh bằng phương pháp quy nạp. -Nhận xét và bổ sung hoàn chỉnh bài làm của học sinh. -Làm vào giấy nháp và lên bảng làm. -Dùng chỉnh hợp. -Nhận xét bài làm của bạn -Ghi nhận kết quả,ghi vào vỡ. Khi n=1 ta có Giả sử đúng khi n = k tức là ta có Ta phải chứng minh đúng với n=k+1. Vậy Củng cố : -Chép bài tập về nhà. -Nhấn mạnh phương pháp quy nạp toán học. Dặn dò : Làm các bài tập về phương pháp quy nạp toán học.

Tài liệu đính kèm:

tuchon11cbtiet14.doc